Se
segue uma
-Normal, então
segue uma
. Suponha
conhecido.Mostre que
é uma quantidade pivotal e use-a para montar a fórmula do IC para
baseado em uma única observação
.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo peguei do enunciado):
- Dado:
segue uma log-Normal; portanto segue . - Dado:
é conhecida. - Definição dada:
. - Pedido 1: Mostrar que
é uma quantidade pivotal. - Pedido 2: Usar essa quantidade pivotal para montar a fórmula do intervalo de confiança para
baseado em uma única observação .
Observação: só há uma observação, que quando observada vale (vou usar essa notação no final para escrever o intervalo numéricamente).
Passo 2
Escrever claramente a distribuição de
e de
.
Como foi dado, segue
Como foi dado,
Definindo
temos
. Se
, então subtrair
desloca a média e não muda a variância; portanto
Isto é,
tem distribuição normal padrão.
Passo 3
Explicar o que é uma quantidade pivotal e verificar a propriedade de
.
Definição (em palavras simples): uma quantidade pivotal é uma função dos dados e do(s) parâmetro(s) cujo comportamento probabilístico (sua distribuição) não depende do(s) parâmetro(s) desconhecido(s). Em outras palavras, é uma estatística cujo distribuição é livre dos parâmetros desconhecidos — exatamente o que facilita construir intervalos de confiança.
No nosso caso vimos que tem distribuição
, que não depende de
. Logo
é uma quantidade pivotal.
Definição (em palavras simples): uma quantidade pivotal é uma função dos dados e do(s) parâmetro(s) cujo comportamento probabilístico (sua distribuição) não depende do(s) parâmetro(s) desconhecido(s). Em outras palavras, é uma estatística cujo distribuição é livre dos parâmetros desconhecidos — exatamente o que facilita construir intervalos de confiança.
No nosso caso vimos que
Passo 4
Usar a pivotal para construir o intervalo de confiança. Encontrar a probabilidade central de nível
.
Seja uma variável
. Para um nível de confiança
usamos o quantil padrão
tal que
Seja
Pela simetria da normal padrão vale
Como
é
, podemos substituir
por
e obter
Passo 5
Substituir
na desigualdade e resolver para
.
Substituindo na desigualdade central:
Substituindo
Agora isolar
. Somando
e subtraindo os termos apropriados obtemos
Portanto, antes de observar
isso é um evento de probabilidade
. Após observar
, o intervalo de confiança para
é obtido substituindo
por
.
Passo 6
Interpretação prática e como obter
.
- O intervalo é centrado em
e tem meia-amplitude igual a . - Para um nível usual, por exemplo
( ), usa-se . Para outros níveis consulta-se a tabela da normal padrão ou uma calculadora estatística. - Assim, com uma única observação
o intervalo numérico fica .