Se X segue uma \log-Normal, então Y=\log (X) segue uma N\left(\mu, \sigma^{2}\right). Suponha \sigma^{2}=1 conhecido.Mostre que Q=\log (X)-\mu é uma quantidade pivotal e use-a para montar a fórmula do IC para \mu baseado em uma única observação X.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo peguei do enunciado):
  • Dado: X segue uma log-Normal; portanto Y=\log(X) segue N\left(\mu,\sigma^{2}\right).
  • Dado: \sigma^{2}=1 é conhecida.
  • Definição dada: Q=\log(X)-\mu.
  • Pedido 1: Mostrar que Q é uma quantidade pivotal.
  • Pedido 2: Usar essa quantidade pivotal para montar a fórmula do intervalo de confiança para \mu baseado em uma única observação X.
    Observação: só há uma observação X, que quando observada vale X=x (vou usar essa notação no final para escrever o intervalo numéricamente).

Passo 2

Escrever claramente a distribuição de Y e de Q.
Como foi dado, Y=\log(X) segue
Y \sim N\bigl(\mu,\,1\bigr).
Definindo Q=\log(X)-\mu temos Q=Y-\mu. Se Y\sim N(\mu,1), então subtrair \mu desloca a média e não muda a variância; portanto
Q \sim N(0,1).
Isto é, Q tem distribuição normal padrão.

Passo 3

Explicar o que é uma quantidade pivotal e verificar a propriedade de Q.
Definição (em palavras simples): uma quantidade pivotal é uma função dos dados e do(s) parâmetro(s) cujo comportamento probabilístico (sua distribuição) não depende do(s) parâmetro(s) desconhecido(s). Em outras palavras, é uma estatística cujo distribuição é livre dos parâmetros desconhecidos — exatamente o que facilita construir intervalos de confiança.
No nosso caso vimos que Q=\log(X)-\mu tem distribuição N(0,1), que não depende de \mu. Logo Q é uma quantidade pivotal.

Passo 4

Usar a pivotal para construir o intervalo de confiança. Encontrar a probabilidade central de nível 1-\alpha.
Seja Z uma variável N(0,1). Para um nível de confiança 1-\alpha usamos o quantil padrão z_{1-\alpha/2} tal que
P\bigl(Z \le z_{1-\alpha/2}\bigr)=1-\frac{\alpha}{2}.
Pela simetria da normal padrão vale
P\bigl(-z_{1-\alpha/2}\le Z \le z_{1-\alpha/2}\bigr)=1-\alpha.
Como Q é N(0,1), podemos substituir Z por Q e obter
P\bigl(-z_{1-\alpha/2}\le Q \le z_{1-\alpha/2}\bigr)=1-\alpha.

Passo 5

Substituir Q=\log(X)-\mu na desigualdade e resolver para \mu.
Substituindo Q na desigualdade central:
P\bigl(-z_{1-\alpha/2}\le \log(X)-\mu \le z_{1-\alpha/2}\bigr)=1-\alpha.
Agora isolar \mu. Somando \mu e subtraindo os termos apropriados obtemos
P\bigl(\log(X)-z_{1-\alpha/2}\le \mu \le \log(X)+z_{1-\alpha/2}\bigr)=1-\alpha.
Portanto, antes de observar X isso é um evento de probabilidade 1-\alpha. Após observar X=x, o intervalo de confiança para \mu é obtido substituindo \log(X) por \log(x).

Passo 6

Interpretação prática e como obter z_{1-\alpha/2}.
  • O intervalo é centrado em \log(X) e tem meia-amplitude igual a z_{1-\alpha/2}.
  • Para um nível usual, por exemplo 95\% ( \alpha=0,05), usa-se z_{1-0,05/2}=z_{0,975}\approx 1{,}96. Para outros níveis consulta-se a tabela da normal padrão ou uma calculadora estatística.
  • Assim, com uma única observação X=x o intervalo numérico fica \bigl[\log(x)-z_{1-\alpha/2},\,\log(x)+z_{1-\alpha/2}\bigr].

Resposta

\displaystyle \bigl[\log(X)-z_{1-\alpha/2},\\ \log(X)+z_{1-\alpha/2}\bigr]

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