(3,0 pontos) Escolha uma questão para resolver:
1^{a} ) Usando integração por partes encontre a integral definida \int_{0}^{2 \pi} e^{x} \operatorname{sen} x d x.
2^{x} ) Sejam as curvas C_{1} dada por y=x^{2} e C_{2} dada por y=-x^{2}+4 x. Considere a função \left(f_{1}(x)\right) cujo gráfico é a curva C_{1} e a função \left(f_{2}(x)\right) cujo gráfico é a curva C_{2}.
(a) Analise os intervalos onde uma função é maior que a outra.
(b) Usando integral definida encontre a área entre as curvas.
(c) Esboce a região da área calculada.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{2\pi} e^{x}\operatorname{sen} x\,dx
usando o método de integração por partes. Vamos precisar aplicar parte duas vezes, montar uma equação para a própria integral e depois avaliar no intervalo de 0 a 2\pi.

Passo 2

Aplique integração por partes à integral indefinida
\int e^{x}\operatorname{sen} x\,dx.
Escolha
u = e^{x},\quad dv = \operatorname{sen} x\,dx,
então
du = e^{x}\,dx,\quad v = -\cos x.
Logo
\int e^{x}\operatorname{sen} x\,dx = u\,v - \int v\,du = -e^{x}\cos x - \int \bigl(-\cos x\bigr)\,e^{x}\,dx = -e^{x}\cos x + \int e^{x}\cos x\,dx.

Passo 3

Agora calcule
\int e^{x}\cos x\,dx
também por partes, com
u = e^{x},\quad dv = \cos x\,dx
de modo que
du = e^{x}\,dx,\quad v = \operatorname{sen} x.
Então
\int e^{x}\cos x\,dx = e^{x}\operatorname{sen} x - \int \operatorname{sen} x\,e^{x}\,dx = e^{x}\operatorname{sen} x - \int e^{x}\operatorname{sen} x\,dx.
Substituindo de volta em \int e^{x}\operatorname{sen} x\,dx:
\int e^{x}\operatorname{sen} x\,dx = -e^{x}\cos x + \bigl(e^{x}\operatorname{sen} x - \int e^{x}\operatorname{sen} x\,dx\bigr) = e^{x}(\operatorname{sen} x - \cos x) - \int e^{x}\operatorname{sen} x\,dx.
Reorganizando para isolar \displaystyle \int e^{x}\operatorname{sen} x\,dx:
2\int e^{x}\operatorname{sen} x\,dx = e^{x}(\operatorname{sen} x - \cos x) \quad\Longrightarrow\quad \int e^{x}\operatorname{sen} x\,dx = \frac{e^{x}}{2}\bigl(\operatorname{sen} x - \cos x\bigr) + C.

Passo 4

Agora usamos o resultado para avaliar a integral definida de 0 a 2\pi:
\int_{0}^{2\pi} e^{x}\operatorname{sen} x\,dx = \left[\frac{e^{x}}{2}\bigl(\operatorname{sen} x - \cos x\bigr)\right]_{0}^{2\pi}.
Calcule em x=2\pi:
\frac{e^{2\pi}}{2}\bigl(\operatorname{sen}(2\pi)-\cos(2\pi)\bigr) = \frac{e^{2\pi}}{2}(0 - 1) = -\frac{e^{2\pi}}{2}.
Calcule em x=0:
\frac{e^{0}}{2}\bigl(\sen0 - \cos0\bigr) = \frac{1}{2}(0 - 1) = -\frac{1}{2}.
Subtraindo, obtemos
\int_{0}^{2\pi} e^{x}\operatorname{sen} x\,dx = \Bigl(-\tfrac{e^{2\pi}}{2}\Bigr) - \Bigl(-\tfrac{1}{2}\Bigr) = -\frac{e^{2\pi}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1 - e^{2\pi}}{2}.

Resposta

\boxed{\int_{0}^{2\pi} e^{x}\operatorname{sen} x\,dx = \frac{1 - e^{2\pi}}{2}.}

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