( 1,5 ponto) Usando derivadas, calcule a velocidade e a aceleração no instante t=3 sendo que a função de posição é dada por f(t)=e^{\mid t^{2}+1}.

Passo 1

O enunciado pede a velocidade e a aceleração no instante t=3 da partícula cuja função de posição é
f(t)=e^{\lvert t^{2}+1\rvert}.
O conteúdo principal aqui é o cálculo de derivadas de uma exponencial composta (regra da cadeia) e, posteriormente, a derivada da velocidade para obter a aceleração (regra do produto).

Passo 2

Note que para todo t temos t^{2}+1\ge1>0, logo
\lvert t^{2}+1\rvert = t^{2}+1.
Portanto podemos reescrever
f(t)=e^{t^{2}+1}.

Passo 3

A velocidade é dada por v(t)=f'(t). Aplicando a regra da cadeia em
\displaystyle f(t)=e^{g(t)} com g(t)=t^{2}+1, obtemos
f'(t)=e^{g(t)}\cdot g'(t) =e^{t^{2}+1}\cdot (2t) =2t\,e^{t^{2}+1}.

Passo 4

A aceleração é a(t)=v'(t). Como v(t)=2t\,e^{t^{2}+1}, usamos a regra do produto:
v'(t) =2\cdot e^{t^{2}+1} + 2t\cdot\bigl(e^{t^{2}+1}\cdot 2t\bigr) =2e^{t^{2}+1} + 4t^{2}e^{t^{2}+1} =2e^{t^{2}+1}\bigl(1+2t^{2}\bigr).

Passo 5

Basta agora avaliar em t=3:
v(3)=2\cdot 3\,e^{3^{2}+1}=6e^{10},
a(3)=2e^{3^{2}+1}\bigl(1+2\cdot 3^{2}\bigr) =2e^{10}(1+18) =38e^{10}.

Resposta

v(3)=6e^{10}
a(3)=38e^{10}

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