Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt[2]{x}-1}{\sqrt[3]{x}-1}

Passo 1

O enunciado pede
limxto1raizx-1raiz[3]x-1
que é um caso clássico de limite do tipo 0/0. Para resolver, vamos usar o Teorema de l’Hôpital, que diz que, em casos de indeterminação tfrac00, podemos tomar as derivadas do numerador e do denominador.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada fazendo x=1 diretamente:
raiz1-1=0, raiz[3]1-1=0,
logo é mesmo 0/0, e o uso de l’Hôpital fica justificado.

Passo 3

Calculamos as derivadas das funções do numerador e do denominador:
f(x)=raizx=x^1/2 Longrightarrow f'(x)=12raizx,
g(x)=raiz[3]x=x^1/3 Longrightarrow g'(x)=13,x^2/3
Pelo Teorema de l’Hôpital,
limxto1raizx-1raiz[3]x-1 =limxto1f'(x)g'(x) =limxto112raizx13,x^2/3

Passo 4

Bast a avaliar em x=1:
12raiz113cdot1^2/3 =tfrac12tfrac13 =12cdot31 =32

Resposta

32

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