Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0}(1-3 x)^{6 / x}.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to 0}\bigl(1-3x\bigr)^{6/x}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão tem a forma de uma base que tende a 1 (pois 1-3x \to 1 quando x\to 0) elevada a uma potência que tende a infinito (pois 6/x diverge quando x\to 0). Isso sugere usar uma transformação que torne o expoente um produto, normalmente tomando o logaritmo natural.
  • Importante: o logaritmo natural \ln(\cdot) só está definido para argumentos positivos. Para x suficientemente perto de 0 (por exemplo |x|<\tfrac{1}{6}), tem-se 1-3x>0, então não há problema em aplicar \ln na vizinhança do zero.

Passo 2

Estratégia (ideia utilizada na prova): chamar a função de
f(x)=\bigl(1-3x\bigr)^{6/x}
e trabalhar com o logaritmo natural de f(x) para transformar potência em produto. Como a função exponencial \exp(\cdot) é contínua, vale a identidade
\lim_{x\to0} f(x)=\exp\!\left(\lim_{x\to0}\ln f(x)\right),
desde que o limite \lim_{x\to0}\ln f(x) exista (ou seja \pm\infty). Então calculamos primeiro
\ln f(x)=\frac{6}{x}\ln\bigl(1-3x\bigr).

Passo 3

Calcular o limite do logaritmo:
L:=\lim_{x\to0}\frac{6}{x}\ln\bigl(1-3x\bigr).
Fatoramos e usamos uma substituição simples. Escrevemos
\frac{6}{x}\ln\bigl(1-3x\bigr)=6\cdot\frac{\ln(1-3x)}{x}.
Agora escolhemos u=-3x. Quando x\to0 temos u\to0, e observe que
\frac{\ln(1-3x)}{x}=\frac{\ln(1+u)}{x}=\frac{\ln(1+u)}{u}\cdot\frac{u}{x}.
Como u=-3x, temos \dfrac{u}{x}=-3. Além disso existe um limite fundamental (muito usado em provas):
\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1,
pois \ln(1+u)=u+o(u) ou porque a derivada de \ln(1+u) em u=0 é 1. Usando isso,
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1-3x)}{x}=\left(\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}\right)\cdot\left(\lim_{x\to0}\frac{u}{x}\right)=1\cdot(-3)=-3.
Portanto
L=6\cdot(-3)=-18.

Passo 4

Retornando à função original, como \ln f(x)\to L=-18, pela continuidade da exponencial obtemos
\lim_{x\to0}f(x)=\exp(L)=\exp(-18).

Passo 5

Dica rápida para a prova (fórmula útil): para constantes a e b,
\lim_{x\to0}\bigl(1+ax\bigr)^{b/x}=e^{ab}.
No nosso caso a=-3 e b=6, então o limite é e^{-18}. Força aí — essa classe de limites aparece muito e com essa manobra fica bem direta!

Resposta

e^{-18}

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