Calcule os seguintes limites:
.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas e observações iniciais:
- A expressão tem a forma de uma base que tende a
(pois quando ) elevada a uma potência que tende a infinito (pois diverge quando ). Isso sugere usar uma transformação que torne o expoente um produto, normalmente tomando o logaritmo natural. - Importante: o logaritmo natural
só está definido para argumentos positivos. Para suficientemente perto de (por exemplo ), tem-se , então não há problema em aplicar na vizinhança do zero.
Passo 2
Estratégia (ideia utilizada na prova): chamar a função de
e trabalhar com o logaritmo natural de
para transformar potência em produto. Como a função exponencial
é contínua, vale a identidade
desde que o limite
exista (ou seja
). Então calculamos primeiro
Passo 3
Calcular o limite do logaritmo:
Fatoramos e usamos uma substituição simples. Escrevemos
Agora escolhemos
. Quando
temos
, e observe que
Como
, temos
. Além disso existe um limite fundamental (muito usado em provas):
pois
ou porque a derivada de
em
é
. Usando isso,
Portanto
Passo 4
Retornando à função original, como
, pela continuidade da exponencial obtemos
Passo 5
Dica rápida para a prova (fórmula útil): para constantes
e
,
No nosso caso
e
, então o limite é
. Força aí — essa classe de limites aparece muito e com essa manobra fica bem direta!