Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(x)}{\sqrt{\operatorname{sen}(x)+1}-1}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{\sqrt{\operatorname{sen}(x)+1}-1}.
Isso envolve um caso em que o denominador tende a \sqrt{1}-1=0 e o numerador tende a \operatorname{sen}(0)=0. Vamos usar a técnica de racionalização de denominador para remover a raiz e permitir a simplificação.

Passo 2

Multiplicamos numerador e denominador pela conjugada do denominador, que é \sqrt{\operatorname{sen}(x)+1}+1:
\frac{\operatorname{sen}(x)}{\sqrt{\operatorname{sen}(x)+1}-1}\;\times\;\frac{\sqrt{\operatorname{sen}(x)+1}+1}{\sqrt{\operatorname{sen}(x)+1}+1} =\frac{\operatorname{sen}(x)\bigl(\sqrt{\operatorname{sen}(x)+1}+1\bigr)}{\bigl(\sqrt{\operatorname{sen}(x)+1}-1\bigr)\bigl(\sqrt{\operatorname{sen}(x)+1}+1\bigr)}.

Passo 3

No denominador, usamos a identidade (a-b)(a+b)=a^2-b^2 com a=\sqrt{\operatorname{sen}(x)+1} e b=1:
\bigl(\sqrt{\operatorname{sen}(x)+1}\bigr)^2 - 1^2 = \bigl(\operatorname{sen}(x)+1\bigr)-1 = \operatorname{sen}(x).
Logo o quociente torna-se
\frac{\operatorname{sen}(x)\bigl(\sqrt{\operatorname{sen}(x)+1}+1\bigr)}{\operatorname{sen}(x)}.

Passo 4

Para x\neq0, podemos cancelar \operatorname{sen}(x) no numerador e denominador, obtendo \sqrt{\operatorname{sen}(x)+1}+1.

Passo 5

Agora calculamos o limite da expressão simplificada quando x\to0:
\lim_{x\to0}\bigl(\sqrt{\operatorname{sen}(x)+1}+1\bigr) =\sqrt{\operatorname{sen}(0)+1}+1 =\sqrt{1}+1 =2.

Resposta

2

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