Use o software R para desenhar os gráficos das hipociclóides com a inteiro positivo e b=1. Como o valor de a afeta o gráfico? Mostre que, se tomarmos a=4, então as equações paramétricas da hipociclóide se reduzem a:
x=4 \cos ^{3} \theta, \quad y=4 \sin ^{3} \theta
Essa curva é chamada de hipociclóide de quatro cúspides, ou astróide.

Passo 1

O enunciado pede para desenharmos, no R, as hipociclóides definidas pelos parâmetros inteiros a>0 e b=1, estudar como a afeta o gráfico e, em particular, mostrar que para a=4 as equações paramétricas se reduzem a
x=4\cos^3\theta,\quad y=4\sin^3\theta.
O conteúdo é a curva hipociclóide e suas fórmulas paramétricas, usando trigonometria e identidades de ângulos múltiplos.

Passo 2

Em geral, a hipociclóide obtida pela rotação de um círculo de raio b dentro de outro de raio a tem, em função de \theta,
x(\theta) = (a - b)\cos\theta + b\cos\!\bigl(\tfrac{a - b}{b}\,\theta\bigr),
y(\theta) = (a - b)\sin\theta - b\sin\!\bigl(\tfrac{a - b}{b}\,\theta\bigr).
Essa é a definição clássica via sufrotação.

Passo 3

Para o caso b=1 as fórmulas simplificam para
x(\theta) = (a-1)\cos\theta + \cos\bigl((a-1)\theta\bigr),
y(\theta) = (a-1)\sin\theta - \sin\bigl((a-1)\theta\bigr).

Passo 4

Variação de a: conforma a cresce, o número de cúspides da hipociclóide é igual a a. Por exemplo, a=3 gera a deltoide (3 cúspides), a=4 a astróide (4 cúspides), a=5 uma estrela de 5 cúspides etc.

Passo 5

No R, podemos usar o código abaixo para visualizar várias curvas e ver o efeito de a:
theta <- seq(0, 2*pi, length\(=1000\))
plot(NULL, xli\(m=c\)(-6,6), yli\(m=c\)(-6,6), asp\(=1\), xlab="x", ylab="y",
 main="Hipocicloides para b=1 e a=3,4,5")
cores <- c("red","blue","darkgreen")
for(i in 1:3){
 a <- \(2+\)i # testa a\(=3,4\),5
 x <- (a-1)*cos(theta) + cos((a-1)*theta)
 y <- (a-1)*sin(theta) - sin((a-1)*theta)
 lines(x, y, co\(l=c\)ores[i])
}
legend("topright", legen\(d=p\)aste("a=",3:5), co\(l=c\)ores, lty\(=1\))
Isso mostra claramente que a hipociclóide tem a cúspides.

Passo 6

Para a=4 e b=1 temos (a-1)=3, então
x(\theta) = 3\cos\theta + \cos(3\theta),
y(\theta) = 3\sin\theta - \sin(3\theta).
Usando as identidades de ângulos múltiplos
\cos(3\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta, \quad \sin(3\theta) = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta,
segue
x(\theta) = 3\cos\theta + \bigl(4\cos^3\theta - 3\cos\theta\bigr) = 4\cos^3\theta,
y(\theta) = 3\sin\theta - \bigl(3\sin\theta - 4\sin^3\theta\bigr) = 4\sin^3\theta.

Resposta

x = 4\cos^3\theta,\quad y = 4\sin^3\theta.

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