Use o software R para desenhar os gráficos das hipociclóides com a inteiro positivo e
. Como o valor de
afeta o gráfico? Mostre que, se tomarmos
, então as equações paramétricas da hipociclóide se reduzem a:
Essa curva é chamada de hipociclóide de quatro cúspides, ou astróide.
Passo 1
O enunciado pede para desenharmos, no R, as hipociclóides definidas pelos parâmetros inteiros
e
, estudar como
afeta o gráfico e, em particular, mostrar que para
as equações paramétricas se reduzem a
O conteúdo é a curva hipociclóide e suas fórmulas paramétricas, usando trigonometria e identidades de ângulos múltiplos.
Passo 2
Em geral, a hipociclóide obtida pela rotação de um círculo de raio
dentro de outro de raio
tem, em função de
,
Essa é a definição clássica via sufrotação.
Passo 3
Para o caso
as fórmulas simplificam para
Passo 4
Variação de
: conforma
cresce, o número de cúspides da hipociclóide é igual a
. Por exemplo,
gera a deltoide (3 cúspides),
a astróide (4 cúspides),
uma estrela de 5 cúspides etc.
Passo 5
No R, podemos usar o código abaixo para visualizar várias curvas e ver o efeito de
:
theta <- seq(0, 2*pi, length\(=1000\))
plot(NULL, xli\(m=c\)(-6,6), yli\(m=c\)(-6,6), asp\(=1\), xlab="x", ylab="y",
main="Hipocicloides para b=1 e a=3,4,5")
cores <- c("red","blue","darkgreen")
for(i in 1:3){
a <- \(2+\)i # testa a\(=3,4\),5
x <- (a-1)*cos(theta) + cos((a-1)*theta)
y <- (a-1)*sin(theta) - sin((a-1)*theta)
lines(x, y, co\(l=c\)ores[i])
}
legend("topright", legen\(d=p\)aste("a=",3:5), co\(l=c\)ores, lty\(=1\))
Isso mostra claramente que a hipociclóide tem
cúspides.
Passo 6
Para
e
temos
, então
Usando as identidades de ângulos múltiplos
segue