Verifique se os seguintes limites existem:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x+\operatorname{sen}(x)}{|x|}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a existência do limite
\lim_{x\to 0}\frac{x+\operatorname{sen}(x)}{\lvert x\rvert}.
O conteúdo envolve limites laterais e a definição de valor absoluto. Vamos calcular os limites pela direita x\to0^+ e pela esquerda x\to0^- e comparar.

Passo 2

Para x\to0^+, temos \lvert x\rvert = x. Então
\frac{x+\operatorname{sen}(x)}{\lvert x\rvert} =\frac{x+\operatorname{sen}(x)}{x} =1+\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}.
Como \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1, segue que
\lim_{x\to0^+}\frac{x+\operatorname{sen}(x)}{\lvert x\rvert} =1+1=2.

Passo 3

Para x\to0^-, temos \lvert x\rvert = -x. Então
\frac{x+\operatorname{sen}(x)}{\lvert x\rvert} =\frac{x+\operatorname{sen}(x)}{-x} =-\Bigl(1+\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}\Bigr).
De novo \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1, logo
\lim_{x\to0^-}\frac{x+\operatorname{sen}(x)}{\lvert x\rvert} =-(1+1)=-2.

Passo 4

Como os limites laterais são diferentes ( 2 pela direita e -2 pela esquerda), o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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