Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(x+2)(3 x+2)-4}{x}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x \to 0} \frac{(x+2)(3x+2)-4}{x}
Estamos tratando de um limite de uma expressão algébrica que resulta em 0/0 ao substituir diretamente x=0. Para resolver, vamos usar técnicas de álgebra elementar: expandir o produto, simplificar e então calcular o limite.

Passo 2

Expandimos o produto no numerador:
(x+2)(3x+2) = 3x^2 + 2x + 6x + 4 = 3x^2 + 8x + 4.
Subtraindo 4, o numerador fica
3x^2 + 8x + 4 - 4 = 3x^2 + 8x.
Logo a expressão original simplifica para
\frac{(x+2)(3x+2)-4}{x} = \frac{3x^2 + 8x}{x} = 3x + 8.

Passo 3

Agora que temos a forma simplificada 3x+8, basta avaliar em x \to 0:
\lim_{x \to 0}(3x + 8) = 8.

Resposta

8

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