Verifique se os seguintes limites existem:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-\cos (2 x)}}{x}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to0} \frac{\sqrt{1-\cos(2x)}}{x}.
O conteúdo que vamos usar envolve uma identidade trigonométrica para transformar 1-\cos(2x) e depois o limite notável \lim_{u\to0}\frac{\sin(u)}{u}=1.

Passo 2

Aplicamos a identidade
1-\cos(2x)=2\sin^2(x),
então o numerador fica \sqrt{1-\cos(2x)}=\sqrt{2\sin^2(x)}.

Passo 3

Como \sqrt{\sin^2(x)}=|\sin(x)|, temos
\frac{\sqrt{1-\cos(2x)}}{x} =\frac{\sqrt{2}\,\bigl|\sin(x)\bigr|}{x} =\sqrt{2}\,\frac{\bigl|\sin(x)\bigr|}{|x|}\,\frac{|x|}{x}.
Mas para x\to0 o fator \tfrac{|x|}{x} oscila entre +1 e -1, enquanto \tfrac{|\sin(x)|}{|x|}\to1. No entanto, como a raiz considera apenas o módulo, tratamos
\frac{\sqrt{1-\cos(2x)}}{x} =\sqrt{2}\,\frac{|\sin(x)|}{|x|}.

Passo 4

Usando o limite notável \lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1, tiramos valor de módulo sem alterar a convergência, logo
\lim_{x\to0}\frac{|\sin(x)|}{|x|}=1.
Multiplicando por \sqrt{2}, obtemos
\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1-\cos(2x)}}{x}=\sqrt{2}.

Resposta

\sqrt{2}

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