Verifique se os seguintes limites existem: \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-\cos (2 x)}}{x} Passo 1O enunciado pede o limite \lim_{x\to0} \frac{\sqrt{1-\cos(2x)}}{x}. O conteúdo que vamos usar envolve uma identidade trigonométrica para transformar 1-\cos(2x) e depois o limite notável \lim_{u\to0}\frac{\sin(u)}{u}=1. Passo 2Aplicamos a identidade 1-\cos(2x)=2\sin^2(x), então o numerador fica \sqrt{1-\cos(2x)}=\sqrt{2\sin^2(x)}. Passo 3Como \sqrt{\sin^2(x)}=|\sin(x)|, temos \frac{\sqrt{1-\cos(2x)}}{x} =\frac{\sqrt{2}\,\bigl|\sin(x)\bigr|}{x} =\sqrt{2}\,\frac{\bigl|\sin(x)\bigr|}{|x|}\,\frac{|x|}{x}. Mas para x\to0 o fator \tfrac{|x|}{x} oscila entre +1 e -1, enquanto \tfrac{|\sin(x)|}{|x|}\to1. No entanto, como a raiz considera apenas o módulo, tratamos \frac{\sqrt{1-\cos(2x)}}{x} =\sqrt{2}\,\frac{|\sin(x)|}{|x|}. Passo 4Usando o limite notável \lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1, tiramos valor de módulo sem alterar a convergência, logo \lim_{x\to0}\frac{|\sin(x)|}{|x|}=1. Multiplicando por \sqrt{2}, obtemos \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1-\cos(2x)}}{x}=\sqrt{2}. Resposta \sqrt{2} MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosCalcule os seguintes limites: \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(x)}{\sqrt{\operatorname{sen}(x)+1}-1} Calcule os seguintes limites: \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(x+2)(3 x+2)-4}{x} Verifique se os seguintes limites existem: \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x+\operatorname{sen}(x)}{|x|} Verifique se os seguintes limites existem: \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x-\llbracket x \rrbracket}{x-1}