Calcule os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt[3]{x^{2}}-2 \sqrt[3]{x}+1}{(x-1)^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to1}\frac{\sqrt[3]{x^{2}}-2\sqrt[3]{x}+1}{(x-1)^{2}}
que envolve raízes cúbicas. Para resolver usamos mudança de variável e fatoração de diferença de cubos.

Passo 2

Definimos t=\sqrt[3]{x}, logo x=t^{3} e quando x\to1 temos t\to1. Substituindo na expressão original,
\frac{\sqrt[3]{x^{2}}-2\sqrt[3]{x}+1}{(x-1)^{2}} =\frac{t^{2}-2t+1}{(t^{3}-1)^{2}}.

Passo 3

Observamos que
t^{2}-2t+1=(t-1)^{2} \quad\text{e}\quad t^{3}-1=(t-1)(t^{2}+t+1).
Portanto,
\frac{t^{2}-2t+1}{(t^{3}-1)^{2}} =\frac{(t-1)^{2}}{\bigl[(t-1)(t^{2}+t+1)\bigr]^{2}} =\frac{1}{(t^{2}+t+1)^{2}}.

Passo 4

Como t\to1, temos t^{2}+t+1=3. Logo o limite vale
\frac{1}{3^{2}}=\frac{1}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{9}

Exercícios relacionados