Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{3 x^{2}-5 x}{4 x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to +\infty} \frac{3x^{2}-5x}{4x^{2}+1}.
Informações dadas:
  • A função é uma razão de polinômios: numerador 3x^{2}-5x e denominador 4x^{2}+1.
  • A variável x tende para +\infty.
  • Não há parâmetros adicionais nem imagens.

Passo 2

Ideia prática e passo algébrico inicial (método mais usado para esse tipo de limite): dividir numerador e denominador pelo maior grau de x que aparece (aqui é x^{2}). Isso simplifica a expressão quando x\to+\infty. Faço a divisão por x^{2}:
\frac{3x^{2}-5x}{4x^{2}+1} = \frac{x^{2}\!\left(3-\dfrac{5}{x}\right)}{x^{2}\!\left(4+\dfrac{1}{x^{2}}\right)} = \frac{3-\dfrac{5}{x}}{4+\dfrac{1}{x^{2}}}.

Passo 3

Agora vou usar leis básicas de limites: se \lim_{x\to a} f(x) e \lim_{x\to a} g(x) existem e \lim_{x\to a} g(x)\neq 0, então
\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to a} f(x)}{\lim_{x\to a} g(x)}.
Aplicando isso, preciso achar
\lim_{x\to +\infty}\left(3-\frac{5}{x}\right) \quad\text{e}\quad \lim_{x\to +\infty}\left(4+\frac{1}{x^{2}}\right).

Passo 4

Mostro por que \dfrac{5}{x}\to 0 e \dfrac{1}{x^{2}}\to 0 quando x\to+\infty.
  • Intuição: à medida que x cresce muito, dividir uma constante por x ou por x^{2} dá um número cada vez menor, tendendo a zero.
  • Pequena justificativa formal (modelo para \tfrac{1}{x}; o caso \tfrac{1}{x^{2}} é análogo): dado \varepsilon>0, escolha N=\dfrac{1}{\varepsilon}. Se x>N então \dfrac{1}{x}<\dfrac{1}{N}=\varepsilon. Portanto \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0. Multiplicando por constantess dá \lim_{x\to+\infty}\dfrac{5}{x}=0. Similarmente \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^{2}}=0.
Assim
\lim_{x\to +\infty}\left(3-\frac{5}{x}\right)=3-0=3, \qquad \lim_{x\to +\infty}\left(4+\frac{1}{x^{2}}\right)=4+0=4.

Passo 5

Agora aplico o resultado do Passo 3 (quociente de limites):
\lim_{x\to +\infty} \frac{3x^{2}-5x}{4x^{2}+1} = \frac{3}{4}.

Passo 6

Observação geral útil para a prova (resumo rápido, decore!):
  • Se o grau do numerador é igual ao grau do denominador, o limite quando x\to\pm\infty é a razão dos coeficientes líderes (aqui 3/4).
  • Se o grau do numerador for menor, o limite é 0.
  • Se o grau do numerador for maior, o limite é \pm\infty (dependendo do sinal dominante).
    Exemplo breve: \lim_{x\to\infty}\dfrac{2x+1}{5x+7}=\dfrac{2}{5}.
Força aí — isso é padrão em exercícios de limite de funções racionais; com esse método você resolve rápido na prova!

Resposta

\tfrac{3}{4}

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