Calcule os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(1-\frac{2}{x}\right)^{3 x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to -\infty}\Bigl(1-\frac{2}{x}\Bigr)^{3x}.
O conteúdo aqui é limite exponencial do tipo (1 + a/x)^{b x}, que costuma convergir para e^{a b}. Vamos usar uma mudança de variável para deixar no formato padrão.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = -\,x,
de modo que quando x\to -\infty, temos t\to +\infty. Além disso x=-t.

Passo 3

Reescrevendo a base e o expoente em função de t, temos
1-\frac{2}{x} =1-\frac{2}{-t} =1+\frac{2}{t},
e
3x=3(-t)=-3t.
Portanto
\Bigl(1-\frac{2}{x}\Bigr)^{3x} =\Bigl(1+\frac{2}{t}\Bigr)^{-3t}.

Passo 4

Agora observe que
\Bigl(1+\frac{2}{t}\Bigr)^{-3t} =\Bigl[\bigl(1+\tfrac{2}{t}\bigr)^{t}\Bigr]^{-3}.
E é conhecido que
\lim_{t\to\infty}\Bigl(1+\frac{2}{t}\Bigr)^{t} =e^{2}.

Passo 5

Aplicando o limite ao resultado do passo anterior,
\lim_{t\to\infty}\Bigl[\bigl(1+\tfrac{2}{t}\bigr)^{t}\Bigr]^{-3} =\bigl(e^{2}\bigr)^{-3} =e^{-6}.

Resposta

\lim_{x\to -\infty}\Bigl(1-\frac{2}{x}\Bigr)^{3x} =e^{-6}.

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