Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x}-x\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende para +\infty:
\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x}-x\right).
Informações dadas: a expressão é \sqrt{x^{2}+x}-x e a variável x cresce sem limite para o infinito positivo.

Passo 2

Vamos tentar uma substituição direta para ver o que acontece: quando x\to+\infty, temos \sqrt{x^{2}+x} que também tende para +\infty, e x tende para +\infty. Portanto a expressão tem a forma do tipo \infty-\infty, que é uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas observando os termos separadamente — precisamos manipular a expressão para torná-la analisável.

Passo 3

A técnica clássica para eliminar a indeterminação \infty-\infty em expressões com raízes é multiplicar e dividir pelo conjugado. Ou seja, multiplicamos a expressão por \dfrac{\sqrt{x^{2}+x}+x}{\sqrt{x^{2}+x}+x}. Essa multiplicação não altera o valor da expressão, mas simplifica a diferença de raízes. Escrevendo isso:
\sqrt{x^{2}+x}-x = \frac{\big(\sqrt{x^{2}+x}-x\big)\big(\sqrt{x^{2}+x}+x\big)}{\sqrt{x^{2}+x}+x} = \frac{x^{2}+x - x^{2}}{\sqrt{x^{2}+x}+x}.

Passo 4

Continuando a simplificação da fração do passo anterior:
\frac{x^{2}+x - x^{2}}{\sqrt{x^{2}+x}+x} = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+x}+x}.
Ou seja, a expressão original é igual a \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+x}+x} para x>0.

Passo 5

Agora é conveniente dividir numerador e denominador por x (note que x>0 quando x\to+\infty, então isso é válido). Fazendo a fatoração por x no denominador:
\frac{x}{\sqrt{x^{2}+x}+x} = \frac{x}{x\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}+x} = \frac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}+1}.

Passo 6

Tomamos o limite quando x\to+\infty. Observamos que \dfrac{1}{x}\to 0. Como a função raiz quadrada é contínua para argumentos positivos, podemos passar o limite para dentro da raiz:
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}+1} = \frac{1}{\sqrt{1+0}+1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}.

Passo 7

Comentário prático para fixar a intuição: para x grande a raiz \sqrt{x^{2}+x} é um pouco maior que x; uma aproximação rápida é \sqrt{x^{2}+x}\approx x\left(1+\dfrac{1}{2x}\right)=x+\dfrac{1}{2}, então a diferença tende para \dfrac{1}{2}. Num exemplo numérico, para x=100 temos \sqrt{100^{2}+100}-100\approx 0,498, já bem perto de 0,5.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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