Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende para
:
Informações dadas: a expressão é
e a variável
cresce sem limite para o infinito positivo.
Passo 2
Vamos tentar uma substituição direta para ver o que acontece: quando
, temos
que também tende para
, e
tende para
. Portanto a expressão tem a forma do tipo
, que é uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas observando os termos separadamente — precisamos manipular a expressão para torná-la analisável.
Passo 3
A técnica clássica para eliminar a indeterminação
em expressões com raízes é multiplicar e dividir pelo conjugado. Ou seja, multiplicamos a expressão por
. Essa multiplicação não altera o valor da expressão, mas simplifica a diferença de raízes. Escrevendo isso:
Passo 4
Continuando a simplificação da fração do passo anterior:
Ou seja, a expressão original é igual a
para
.
Passo 5
Agora é conveniente dividir numerador e denominador por
(note que
quando
, então isso é válido). Fazendo a fatoração por
no denominador:
Passo 6
Tomamos o limite quando
. Observamos que
. Como a função raiz quadrada é contínua para argumentos positivos, podemos passar o limite para dentro da raiz:
Passo 7
Comentário prático para fixar a intuição: para
grande a raiz
é um pouco maior que
; uma aproximação rápida é
, então a diferença tende para
. Num exemplo numérico, para
temos
, já bem perto de
.