Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O problema pede o valor do limite
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A variável vai para
. - A expressão dentro da raiz é
. - Para
temos , portanto não há problema com raiz de número negativo.
Passo 2
Primeiro simplificamos a fração dentro da raiz. Para qualquer
,
Isto vem de dividir cada termo do numerador por
:
e
permanece.
Passo 3
Substituindo na raiz, a expressão do limite fica
Essa igualdade é segura porque
para
, então não precisamos nos preocupar com valores absolutos ao simplificar.
Passo 4
Agora calculamos o limite do interior da raiz. Como
, temos
pois
cresce sem bound e o inverso tende a zero. Logo
Passo 5
Usamos que a função raiz quadrada
é contínua em
. Uma propriedade útil: se
e
é contínua em
, então
. Aplicando aqui,
Passo 6
Portanto o limite pedido vale
.