Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{x^{2}+1}{x^{2}}}

Passo 1

O problema pede o valor do limite
\lim_{x\to\infty} \sqrt{\frac{x^{2}+1}{x^{2}}}.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A variável vai para +\infty.
  • A expressão dentro da raiz é \dfrac{x^{2}+1}{x^{2}}.
  • Para x\neq0 temos x^{2}>0, portanto não há problema com raiz de número negativo.

Passo 2

Primeiro simplificamos a fração dentro da raiz. Para qualquer x\neq0,
\frac{x^{2}+1}{x^{2}} = 1 + \frac{1}{x^{2}}.
Isto vem de dividir cada termo do numerador por x^{2}: \dfrac{x^{2}}{x^{2}}=1 e \dfrac{1}{x^{2}} permanece.

Passo 3

Substituindo na raiz, a expressão do limite fica
\sqrt{\frac{x^{2}+1}{x^{2}}} = \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}.
Essa igualdade é segura porque x^{2}>0 para x\neq0, então não precisamos nos preocupar com valores absolutos ao simplificar.

Passo 4

Agora calculamos o limite do interior da raiz. Como x\to\infty, temos
\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x^{2}} = 0,
pois x^{2} cresce sem bound e o inverso tende a zero. Logo
\lim_{x\to\infty} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right) = 1 + 0 = 1.

Passo 5

Usamos que a função raiz quadrada \sqrt{\cdot} é contínua em [0,\infty). Uma propriedade útil: se g(x)\to L e \sqrt{\cdot} é contínua em L, então \sqrt{g(x)}\to\sqrt{L}. Aplicando aqui,
\lim_{x\to\infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} = \sqrt{\lim_{x\to\infty} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)} = \sqrt{1} = 1.

Passo 6

Portanto o limite pedido vale 1.

Resposta

1

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