Dados m=\lim _{x \rightarrow 6} \frac{(\sqrt{2 x-4}-\sqrt{8})}{(\sqrt{x-3}-\sqrt{3})} e n=\lim _{x \rightarrow 2} \frac{(\sqrt{2 x+1}-3)}{(\sqrt{x-2}-\sqrt{2})}. Determine \boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}.

Passo 1

O enunciado define m = \displaystyle \lim_{x \to 6} \frac{\sqrt{2x-4}-\sqrt{8}}{\sqrt{x-3}-\sqrt{3}}
e n = \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2x+1}-3}{\sqrt{x-2}-\sqrt{2}},
e pede o produto m\cdot n.
O conteúdo envolve limites com radicais, para os quais usaremos racionalização e propriedades de limites.

Passo 2

Para calcular m, escrevemos a forma indeterminada 0/0 e racionalizamos o numerador:
m = \lim_{x\to6} \frac{\sqrt{2x-4}-\sqrt8}{\sqrt{x-3}-\sqrt3} = \lim_{x\to6} \frac{\bigl(\sqrt{2x-4}-\sqrt8\bigr)\bigl(\sqrt{2x-4}+\sqrt8\bigr)}{(\sqrt{x-3}-\sqrt3)\bigl(\sqrt{2x-4}+\sqrt8\bigr)} = \lim_{x\to6} \frac{2x-4-8}{(\sqrt{x-3}-\sqrt3)\,(\sqrt{2x-4}+\sqrt8)}.
Isto é,
m = \lim_{x\to6} \frac{2(x-6)}{(\sqrt{x-3}-\sqrt3)\,(\sqrt{2x-4}+\sqrt8)}.

Passo 3

Racionalizamos também \sqrt{x-3}-\sqrt3 via
\sqrt{x-3}-\sqrt3 = \frac{x-6}{\sqrt{x-3}+\sqrt3},
então
m = \lim_{x\to6} 2 \,\frac{x-6}{ \displaystyle \frac{x-6}{\sqrt{x-3}+\sqrt3}\,(\sqrt{2x-4}+\sqrt8) } = \lim_{x\to6} 2\,\frac{\sqrt{x-3}+\sqrt3}{\sqrt{2x-4}+\sqrt8}.
Substituindo x=6 (agora é contínuo):
m = 2\,\frac{\sqrt3+\sqrt3}{\sqrt8+\sqrt8} = \frac{4\sqrt3}{4\sqrt2} = \frac{\sqrt3}{\sqrt2} = \sqrt{\tfrac32}.

Passo 4

Para n, ao substituir x=2 o numerador fica \sqrt5-3\neq0 e o denominador fica -\sqrt2\neq0, logo não há indeterminação e podemos avaliar diretamente:
n = \lim_{x\to2} \frac{\sqrt{2x+1}-3}{\sqrt{x-2}-\sqrt2} = \frac{\sqrt5-3}{-\sqrt2} = \frac{3-\sqrt5}{\sqrt2}.

Passo 5

Multiplicamos os resultados:
m\cdot n = \sqrt{\tfrac32}\;\cdot\frac{3-\sqrt5}{\sqrt2} = \frac{\sqrt3}{\sqrt2}\;\cdot\frac{3-\sqrt5}{\sqrt2} = \frac{\sqrt3\,(3-\sqrt5)}{2} = \frac{3\sqrt3-\sqrt{15}}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{3\sqrt3-\sqrt{15}}{2}

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