Exercício 3. Uma bola de neve esférica é formada de tal maneira que seu volume aumenta à razão de 8 \mathrm{dm}^{3} / \mathrm{min}. Encontre a razão com que o raio é aumentado quando o diâmetro da esfera for igual a 12 dm .
Sugestão: O volume de uma esfera de raio r é igual a \mathrm{V}=(4 / 3) \pi \mathrm{r}^{3}. Note que \mathrm{V}=\mathrm{V}(\mathrm{t}) e \mathrm{r}= r(t), onde t denota o tempo. V^{\prime}(t)=8, qualquer que seja t. Lembre-se de que o raio é a metade do diâmetro. Encontre \mathrm{r}^{\prime}\left(\mathrm{t}^{*}\right), quando \mathrm{r}\left(\mathrm{t}^{*}\right)=6.

Passo 1

O enunciado pede que se encontre a taxa de variação do raio em relação ao tempo, isto é, \,r'(t), no instante em que o diâmetro da esfera vale 12\\ \mathrm{dm}. Informações dadas:
  • A taxa de variação do volume é constante: \,V'(t)=8\\ \mathrm{dm}^3/\mathrm{min}.
  • A relação entre volume e raio é \displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^{3}.
  • O diâmetro vale 12\\ \mathrm{dm} no instante considerado, então o raio correspondente é \,r=6\\ \mathrm{dm} (porque o raio é metade do diâmetro).

Passo 2

Relembrando a ideia chave (cadeia/derivação implícita): aqui V é função do tempo através do raio, isto é, V(t)=\frac{4}{3}\pi\big(r(t)\big)^3. Para relacionar V'(t) com r'(t) usamos a regra da cadeia: ao derivar uma função composta em relação ao tempo, multiplica-se a derivada externa pela derivada interna. Num português mais simples: a variação do volume por minuto depende de quanto o volume muda quando o raio muda vezes a velocidade com que o raio muda.

Passo 3

Vamos diferenciar ambos os lados da igualdade \displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^{3} em relação a t. A derivada do lado esquerdo é \,V'(t). No lado direito aplicamos a regra da potência e a constante \pi:
V'(t)=\frac{d}{dt}\!\left(\frac{4}{3}\pi r(t)^3\right).

Passo 4

Calculando a derivada do lado direito com a regra da cadeia:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right) = \frac{4}{3}\pi\cdot 3r^2\cdot r'(t) = 4\pi r^2\,r'(t).
Portanto a relação entre as taxas é
V'(t)=4\pi r^2\,r'(t).

Passo 5

Isolando r'(t) na equação anterior obtemos a fórmula prática que vamos usar:
r'(t)=\frac{V'(t)}{4\pi r^2}.
Aqui cada símbolo significa:
  • \,r'(t) é a velocidade de crescimento do raio em \mathrm{dm}/\mathrm{min}.
  • \,V'(t) é a velocidade de crescimento do volume em \mathrm{dm}^3/\mathrm{min}.
  • \,r é o valor do raio (em \mathrm{dm}) no instante considerado.
  • \pi é a constante geométrica.

Passo 6

Substituímos os valores conhecidos: \,V'(t)=8\\ \mathrm{dm}^3/\mathrm{min} e \,r=6\\ \mathrm{dm}. Então
r'(t)=\frac{8}{4\pi\cdot 6^2}.

Passo 7

Fazendo as contas passo a passo:
6^2=36, \qquad 4\pi\cdot 36 = 144\pi,
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r'(t)=\frac{8}{144\pi}=\frac{1}{18\pi}\\ \mathrm{dm}/\mathrm{min}.
Se quiser uma ideia numérica aproximada: \displaystyle \frac{1}{18\pi}\approx 0{,}0177\\ \mathrm{dm}/\mathrm{min}, isto é cerca de 0{,}177\\ \mathrm{cm}/\mathrm{min}.

Passo 8

Interpretação rápida e motivacional: o raio cresce devagar — cerca de 0{,}0177\\ \mathrm{dm}/\mathrm{min} — mesmo que o volume cresça a 8\\ \mathrm{dm}^3/\mathrm{min}. Isso acontece porque pequenos aumentos no raio geram grandes aumentos no volume (o volume cresce com o cubo do raio), então para manter a mesma taxa de volume o raio só precisa crescer pouco por minuto. Se precisar, repito esse raciocínio com outro valor de diâmetro para treinar!

Resposta

\displaystyle r'(t^*)=\frac{1}{18\pi}\\ \mathrm{dm}/\mathrm{min}

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