Exercício 3. Uma bola de neve esférica é formada de tal maneira que seu volume aumenta à razão de
. Encontre a razão com que o raio é aumentado quando o diâmetro da esfera for igual a 12 dm .
Sugestão: O volume de uma esfera de raio r é igual a
. Note que
e
, onde
denota o tempo.
, qualquer que seja
. Lembre-se de que o raio é a metade do diâmetro. Encontre
, quando
.
Passo 1
O enunciado pede que se encontre a taxa de variação do raio em relação ao tempo, isto é,
, no instante em que o diâmetro da esfera vale
. Informações dadas:
- A taxa de variação do volume é constante:
. - A relação entre volume e raio é
. - O diâmetro vale
no instante considerado, então o raio correspondente é (porque o raio é metade do diâmetro).
Passo 2
Relembrando a ideia chave (cadeia/derivação implícita): aqui
é função do tempo através do raio, isto é,
. Para relacionar
com
usamos a regra da cadeia: ao derivar uma função composta em relação ao tempo, multiplica-se a derivada externa pela derivada interna. Num português mais simples: a variação do volume por minuto depende de quanto o volume muda quando o raio muda vezes a velocidade com que o raio muda.
Passo 3
Vamos diferenciar ambos os lados da igualdade
em relação a
. A derivada do lado esquerdo é
. No lado direito aplicamos a regra da potência e a constante
:
Passo 4
Calculando a derivada do lado direito com a regra da cadeia:
Portanto a relação entre as taxas é
Passo 5
Isolando
na equação anterior obtemos a fórmula prática que vamos usar:
Aqui cada símbolo significa:
-
é a velocidade de crescimento do raio em . -
é a velocidade de crescimento do volume em . -
é o valor do raio (em ) no instante considerado. -
é a constante geométrica.
Passo 6
Substituímos os valores conhecidos:
e
. Então
Passo 7
Fazendo as contas passo a passo:
logo
Se quiser uma ideia numérica aproximada:
, isto é cerca de
.
Passo 8
Interpretação rápida e motivacional: o raio cresce devagar — cerca de
— mesmo que o volume cresça a
. Isso acontece porque pequenos aumentos no raio geram grandes aumentos no volume (o volume cresce com o cubo do raio), então para manter a mesma taxa de volume o raio só precisa crescer pouco por minuto. Se precisar, repito esse raciocínio com outro valor de diâmetro para treinar!