Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 4} \frac{2 x+1}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 4} \frac{2x+1}{x-1}.
Informações dadas:
  • A função considerada é a função racional f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}.
  • O ponto onde o limite é tomado é x \to 4.

Passo 2

Conceito importante (explicado devagar, sem pular etapas):
  • Uma função f é contínua num ponto a se \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
  • Polinômios são contínuos em todos os pontos; somas, produtos e quocientes (quando o denominador não é zero) de funções contínuas também são contínuos.
  • Assim, uma função racional \dfrac{P(x)}{Q(x)}, onde P e Q são polinômios, é contínua em todo ponto a tal que Q(a)\neq 0.
  • Regra prática para limites de racionais: se ao substituir x=a o denominador não for zero, então o limite é simplesmente o valor da função em a, ou seja, pode-se fazer a substituição direta.
Exemplo rápido para fixar: se tivesse \lim_{x\to 2}\dfrac{x+3}{x-1}, como 2-1\neq 0, o limite seria \dfrac{2+3}{2-1}=5.

Passo 3

Aplicando o que aprendemos ao caso dado:
Primeiro verifico o denominador em x=4:
x-1 \quad\text{em } x=4 \Rightarrow 4-1.
Calculo passo a passo:
4-1=3.
Como o denominador em x=4 é 3\neq 0, a função é contínua em x=4 e posso usar substituição direta.

Passo 4

Agora calculo o numerador em x=4 passo a passo:
2x+1 \quad\text{em } x=4 \Rightarrow 2\cdot 4 + 1.
2\cdot 4 = 8,\qquad 8+1=9.
Portanto o valor da função em x=4 é
\frac{2\cdot 4+1}{4-1}=\frac{9}{3}.
Faço a divisão:
\frac{9}{3}=3.

Passo 5

Interpretação final e dica para a prova: como o denominador não zera em x=4, a técnica correta é substituição direta. Se o denominador fosse zero ao substituir, aí teria que tentar fatorar e cancelar fatores comuns ou usar outros métodos (por exemplo regras de L’Hôpital, se aplicável). Mas aqui não é necessário complicar.

Resposta

3

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