Vou trabalhar com o módulo da expressão (isso é útil porque, em \mathbb{C}, se o módulo de uma função tende a 0 então a própria função tende a 0). Usando a propriedade |ab|=|a||b| e que |\,\operatorname{Re}(z)\,|=|x| (pois \operatorname{Re}(z) é um número real), temos, para z\neq 0,
Como o módulo da expressão tende a 0, a própria expressão complexa tende a 0. (Isto é, em \mathbb{C} o fato de |w_n|\to 0 implica w_n\to 0.)
Passo 5
Observação intuitiva e verificação por caminhos: se o limite não dependesse do caminho, deveria dar o mesmo para qualquer aproximação de 0. Aqui já vimos que o módulo da expressão é exatamente |x|, e como x\to 0 sempre que (x,y)\to(0,0), o valor tende a 0 independentemente do caminho. Portanto o limite existe e é 0. Força aí — não é tão assustador quanto parecia!