Mostre que:
b) \lim _{z \rightarrow 0} \frac{z \cdot \operatorname{Re}(z)}{|z|}=0

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{z\to 0}\frac{z\cdot\operatorname{Re}(z)}{|z|}.
Informações dadas e notação:
  • z é um número complexo que tende a 0.
  • \operatorname{Re}(z) é a parte real de z.
  • |z| é o módulo de z.
    A tarefa é provar que essa expressão tende a 0 quando z\to 0.

Passo 2

Vamos escrever z em coordenadas reais: seja z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}. Então
\operatorname{Re}(z)=x, \qquad |z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
A expressão fica, para z\neq 0,
\frac{z\cdot\operatorname{Re}(z)}{|z|}=\frac{(x+iy)\,x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.

Passo 3

Vou trabalhar com o módulo da expressão (isso é útil porque, em \mathbb{C}, se o módulo de uma função tende a 0 então a própria função tende a 0). Usando a propriedade |ab|=|a||b| e que |\,\operatorname{Re}(z)\,|=|x| (pois \operatorname{Re}(z) é um número real), temos, para z\neq 0,
\left|\frac{z\cdot\operatorname{Re}(z)}{|z|}\right| = \frac{|z|\,|\operatorname{Re}(z)|}{|z|} = |\operatorname{Re}(z)| = |x|.

Passo 4

Agora usamos uma desigualdade simples entre coordenadas e módulo:
|x|\le \sqrt{x^{2}+y^{2}}=|z|.
Combinando com o resultado do passo anterior obtemos, para z\neq 0,
\left|\frac{z\cdot\operatorname{Re}(z)}{|z|}\right| = |x| \le |z|.
Quando z\to 0 temos |z|\to 0, logo pela desigualdade acima segue que
\left|\frac{z\cdot\operatorname{Re}(z)}{|z|}\right|\to 0.
Como o módulo da expressão tende a 0, a própria expressão complexa tende a 0. (Isto é, em \mathbb{C} o fato de |w_n|\to 0 implica w_n\to 0.)

Passo 5

Observação intuitiva e verificação por caminhos: se o limite não dependesse do caminho, deveria dar o mesmo para qualquer aproximação de 0. Aqui já vimos que o módulo da expressão é exatamente |x|, e como x\to 0 sempre que (x,y)\to(0,0), o valor tende a 0 independentemente do caminho. Portanto o limite existe e é 0. Força aí — não é tão assustador quanto parecia!

Resposta

0

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