Obtenha a derivada segunda das funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada segunda dela. Informação fornecida:
- Função:
. - Pedido: calcular
(a segunda derivada de ).
Passo 2
Relembrando um conceito fundamental que vamos usar: derivada de uma exponencial composta.
- Se tivermos uma função
, a regra da cadeia diz que a derivada é
Isto ocorre porque a derivada de
em relação a
é
, e ao compor com
multiplicamos pela derivada de
. Exemplo simples: para
aplica-se
e obtém-se
.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia para encontrar
.
- Identifico
, portanto . - Usando
, obtemos
É comum escrever de forma mais organizada:
Passo 4
Agora precisamos de
. Observação:
é produto de duas funções:
e
. Para derivar um produto usamos a regra do produto:
Vou aplicar essa regra com
e
.
Passo 5
Calcular as derivadas das duas partes do produto:
- Derivada de
é . - Derivada de
usa novamente a regra da cadeia: com temos , então
Passo 6
Aplicar a regra do produto para obter
:
Substituindo
calculados:
Passo 7
Simplificar a expressão:
- Multiplicando os termos do segundo somando:
. - Então
Fatorando
fica mais compacto:
Também pode ser escrita como
Passo 8
Checagem rápida (sanity check): para
a fórmula dá
. Faz sentido numericamente e indica que o procedimento está consistente.