Obtenha a derivada segunda das funções:
f(x)=e^{x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede a derivada segunda dela. Informação fornecida:
  • Função: f(x)=e^{x^{2}}.
  • Pedido: calcular f''(x) (a segunda derivada de f).

Passo 2

Relembrando um conceito fundamental que vamos usar: derivada de uma exponencial composta.
  • Se tivermos uma função g(x)=e^{u(x)}, a regra da cadeia diz que a derivada é
g'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Isto ocorre porque a derivada de e^{t} em relação a t é e^{t}, e ao compor com u(x) multiplicamos pela derivada de u(x). Exemplo simples: para h(x)=e^{3x} aplica-se u(x)=3x e obtém-se h'(x)=e^{3x}\cdot 3=3e^{3x}.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para encontrar f'(x).
  • Identifico u(x)=x^{2}, portanto u'(x)=2x.
  • Usando g'(x)=e^{u(x)}u'(x), obtemos
f'(x)=e^{x^{2}}\cdot 2x.
É comum escrever de forma mais organizada:
f'(x)=2x\,e^{x^{2}}.

Passo 4

Agora precisamos de f''(x). Observação: f'(x)=2x\cdot e^{x^{2}} é produto de duas funções: u(x)=2x e v(x)=e^{x^{2}}. Para derivar um produto usamos a regra do produto:
\text{se }h(x)=u(x)v(x)\text{ então }h'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).ã
Vou aplicar essa regra com u(x)=2x e v(x)=e^{x^{2}}.

Passo 5

Calcular as derivadas das duas partes do produto:
  • Derivada de u(x)=2x é u'(x)=2.
  • Derivada de v(x)=e^{x^{2}} usa novamente a regra da cadeia: com w(x)=x^{2} temos w'(x)=2x, então
v'(x)=e^{x^{2}}\cdot 2x = 2x\,e^{x^{2}}.

Passo 6

Aplicar a regra do produto para obter f''(x):
f''(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo u',u,v' calculados:
f''(x)=2\cdot e^{x^{2}} + (2x)\cdot\bigl(2x\,e^{x^{2}}\bigr).

Passo 7

Simplificar a expressão:
  • Multiplicando os termos do segundo somando: (2x)(2x\,e^{x^{2}})=4x^{2}e^{x^{2}}.
  • Então
f''(x)=2e^{x^{2}}+4x^{2}e^{x^{2}}.
Fatorando e^{x^{2}} fica mais compacto:
f''(x)=\bigl(2+4x^{2}\bigr)e^{x^{2}}.
Também pode ser escrita como
f''(x)=2\bigl(1+2x^{2}\bigr)e^{x^{2}}.

Passo 8

Checagem rápida (sanity check): para x=1 a fórmula dá f''(1)=(2+4)\,e^{1}=6e. Faz sentido numericamente e indica que o procedimento está consistente.

Resposta

f''(x)=\bigl(4x^{2}+2\bigr)\,e^{x^{2}}

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