Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função dada por y=\sqrt{x^{2}-3} no ponto x=2.

Passo 1

O enunciado nos dá a função y=\sqrt{x^{2}-3} e pede a equação da reta tangente ao seu gráfico no ponto correspondente a x=2.
Informações importantes fornecidas:
  • Função: y=\sqrt{x^{2}-3}.
  • Ponto onde queremos a tangente: x_{0}=2.
  • Domínio da função (relevante para saber se o ponto está no domínio): x^{2}-3\ge 0, ou seja |x|\ge\sqrt{3}. Como 2>\sqrt{3}, o ponto x=2 pertence ao domínio.
O que o problema pede:
  • A equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto cujo abscissa é x=2.

Passo 2

Lembrete prático que vamos usar (fórmula da reta tangente): se uma função f é diferenciável em x_{0}, a equação da reta tangente em x_{0} é
y = f(x_{0}) + f'(x_{0})\,(x - x_{0}).
Aqui:
  • x_{0} é a abscissa do ponto de tangência ( x_{0}=2);
  • f(x_{0}) é a ordenada do ponto de tangência (valor da função em x_{0});
  • f'(x_{0}) é a derivada (o coeficiente angular da reta tangente) avaliada em x_{0}.
Explicando rapidamente o porquê: f'(x_{0}) representa a inclinação instantânea da curva em x_{0}, e a reta tangente é a reta que passa por (x_{0},f(x_{0})) com essa inclinação.

Passo 3

Precisamos calcular f(x_{0}) e f'(x_{0}). Primeiro reescrevemos a função para aplicar regras de derivação:
y = \sqrt{x^{2}-3} = (x^{2}-3)^{1/2}.
Para derivar uma composição g(h(x)) usamos a regra da cadeia: (g\circ h)'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).
Aplicando aqui:
  • escolha g(u)=u^{1/2}, assim g'(u)=\tfrac{1}{2}u^{-1/2};
  • escolha h(x)=x^{2}-3, assim h'(x)=2x.

Passo 4

Agora calcular a derivada passo a passo usando a regra da cadeia:
y' = \frac{1}{2}(x^{2}-3)^{-1/2}\cdot (2x).
Simplificando os fatores 2 (um no numerador e o 1/2):
y' = x\,(x^{2}-3)^{-1/2}.
Reescrevendo com raiz para ficar mais intuitivo:
y' = \frac{x}{\sqrt{x^{2}-3}}.
Observação sobre domínio da derivada: esta expressão exige \sqrt{x^{2}-3}\neq 0, ou seja x^{2}-3>0. Nos pontos com x^{2}-3=0 (ou seja x=\pm\sqrt{3}) a derivada tem denominação zero e a inclinação tende ao infinito; mas em x=2 isso não é problema.

Passo 5

Avaliar f e f' em x_{0}=2.
Calcular f(2):
f(2)=\sqrt{2^{2}-3}=\sqrt{4-3}=\sqrt{1}=1.
Calcular f'(2) usando a fórmula da derivada:
f'(2)=\frac{2}{\sqrt{2^{2}-3}}=\frac{2}{\sqrt{1}}=2.
Portanto o ponto de tangência é (2,1) e a inclinação (coeficiente angular) da tangente é m=2.

Passo 6

Aplicar a fórmula da reta tangente:
y = f(2) + f'(2)\,(x-2).
Substituindo f(2)=1 e f'(2)=2:
y = 1 + 2\,(x-2).
Simplificando:
y = 1 + 2x - 4 = 2x - 3.

Passo 7

Resumo rápido para a prova (dica prática): calcule sempre f(x_{0}) e f'(x_{0}). Para funções do tipo \sqrt{u(x)} a derivada é \dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} — é a aplicação direta da regra da cadeia com a regra da potência. Mantém a calma: aqui deu uma conta curtinha e o resultado final é uma reta simples.

Resposta

y=2x-3

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