Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função dada por
no ponto
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede a equação da reta tangente ao seu gráfico no ponto correspondente a
.
Informações importantes fornecidas:
- Função:
. - Ponto onde queremos a tangente:
. - Domínio da função (relevante para saber se o ponto está no domínio):
, ou seja . Como , o ponto pertence ao domínio.
O que o problema pede:
- A equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto cujo abscissa é
.
Passo 2
Lembrete prático que vamos usar (fórmula da reta tangente): se uma função
é diferenciável em
, a equação da reta tangente em
é
Aqui:
-
é a abscissa do ponto de tangência ( ); -
é a ordenada do ponto de tangência (valor da função em ); -
é a derivada (o coeficiente angular da reta tangente) avaliada em .
Explicando rapidamente o porquê:
representa a inclinação instantânea da curva em
, e a reta tangente é a reta que passa por
com essa inclinação.
Passo 3
Precisamos calcular
e
. Primeiro reescrevemos a função para aplicar regras de derivação:
Para derivar uma composição
usamos a regra da cadeia:
.
Aplicando aqui:
- escolha
, assim ; - escolha
, assim .
Passo 4
Agora calcular a derivada passo a passo usando a regra da cadeia:
Simplificando os fatores
(um no numerador e o
):
Reescrevendo com raiz para ficar mais intuitivo:
Observação sobre domínio da derivada: esta expressão exige
, ou seja
. Nos pontos com
(ou seja
) a derivada tem denominação zero e a inclinação tende ao infinito; mas em
isso não é problema.
Passo 5
Avaliar
e
em
.
Calcular
:
Calcular
usando a fórmula da derivada:
Portanto o ponto de tangência é
e a inclinação (coeficiente angular) da tangente é
.
Passo 6
Aplicar a fórmula da reta tangente:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Passo 7
Resumo rápido para a prova (dica prática): calcule sempre
e
. Para funções do tipo
a derivada é
— é a aplicação direta da regra da cadeia com a regra da potência. Mantém a calma: aqui deu uma conta curtinha e o resultado final é uma reta simples.