Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{3}+2 x^{2}+3 x+4}{4 x^{3}+3 x^{2}+2 x+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{3}+2x^{2}+3x+4}{4x^{3}+3x^{2}+2x+1}.
Informações dadas:
  • Numerador: x^{3}+2x^{2}+3x+4.
  • Denominador: 4x^{3}+3x^{2}+2x+1.
  • A variável x tende para +\infty.
    O que se pede: encontrar o valor desse limite quando x cresce sem limite.

Passo 2

Escolha do método (curto e seguro): dividir numerador e denominador pelo maior expoente de x presente nas duas funções — aqui esse maior expoente é x^{3}. Isso simplifica cada termo em potências negativas de x que tendem a zero quando x\to+\infty. Vou fazer essa divisão termo a termo.

Passo 3

Dividindo por x^{3} obtemos
\frac{x^{3}+2x^{2}+3x+4}{4x^{3}+3x^{2}+2x+1} = \frac{\dfrac{x^{3}}{x^{3}}+\dfrac{2x^{2}}{x^{3}}+\dfrac{3x}{x^{3}}+\dfrac{4}{x^{3}}}{\dfrac{4x^{3}}{x^{3}}+\dfrac{3x^{2}}{x^{3}}+\dfrac{2x}{x^{3}}+\dfrac{1}{x^{3}}} = \frac{1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x^{2}}+\dfrac{4}{x^{3}}}{4+\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}}.

Passo 4

Agora uso propriedades básicas de limites:
  • Se \lim_{x\to+\infty}f(x) e \lim_{x\to+\infty}g(x) existem e \lim g(x)\neq0, então \lim \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\lim f(x)}{\lim g(x)}.
  • \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0. Consequentemente \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^{2}}=0 e \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^{3}}=0.
Aplicando isso aos termos:
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x^{2}}+\dfrac{4}{x^{3}}\right)=1+0+0+0=1,
\lim_{x\to+\infty}\left(4+\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}\right)=4+0+0+0=4.
Observação: o limite do denominador é 4\neq0, então a divisão é válida.

Passo 5

Concluindo pela propriedade da razão de limites:
\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{3}+2x^{2}+3x+4}{4x^{3}+3x^{2}+2x+1} = \frac{1}{4}.

Resposta

\dfrac{1}{4}

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