Encontre os seguintes limites envolvendo valores absolutos.
.
Passo 1
O enunciado pede o limite lateral quando
se aproxima de
pela esquerda:
Informações dadas e o que precisamos:
- É um limite quando
(ou seja, aproximando-se de por valores negativos). - A expressão envolve valores absolutos aninhados:
e . - Precisamos simplificar a expressão para
(porque o limite é pela esquerda) e calcular o valor que a fração tende quando se aproxima de por negativos.
Passo 2
Lembrete: como tratar valor absoluto de forma prática. Para qualquer número real
Aqui estamos aproximando por
vale
porque
é negativo, então
é positivo.
Passo 3
Usando
para
, calculemos as expressões dentro dos outros valores absolutos (cada passo em bloco para ficar claro).
Primeiro o numerador interno:
Como
, temos
. Logo
Agora o denominador interno:
Como
, temos
. Logo
Passo 4
Substituindo as expressões obtidas na fração original (válido para
,
):
Agora simplificamos: os sinais menos se cancelam e o fator
pode ser cancelado porque estamos considerando
próximo de
mas não igual a
:
Passo 5
Como a expressão vale exatamente
para todos os
negativos próximos de
(exceto em
, onde a expressão fica indefinida), o limite lateral quando
tende a
pela esquerda é esse mesmo valor constante. Portanto o limite existe e é
.