Encontre os seguintes limites envolvendo valores absolutos.
\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{|x-|x||}{|2 x-|x||}.

Passo 1

O enunciado pede o limite lateral quando x se aproxima de 0 pela esquerda:
\lim_{x\to 0^-} \frac{|x-|x||}{|2x-|x||}.
Informações dadas e o que precisamos:
  • É um limite quando x\to0^- (ou seja, aproximando-se de 0 por valores negativos).
  • A expressão envolve valores absolutos aninhados: |x- |x|| e |2x-|x||.
  • Precisamos simplificar a expressão para x<0 (porque o limite é pela esquerda) e calcular o valor que a fração tende quando x se aproxima de 0 por negativos.

Passo 2

Lembrete: como tratar valor absoluto de forma prática. Para qualquer número real a\), \[|a| = \begin{cases} a, & a\ge 0,\\\\ -a, & a<0. \end{cases}
Aqui estamos aproximando por x<0\] (valores negativos, pequenos em magnitude). Portanto, para \(x<0 vale
|x| = -x,
porque x é negativo, então -x é positivo.

Passo 3

Usando |x| = -x para x<0, calculemos as expressões dentro dos outros valores absolutos (cada passo em bloco para ficar claro).
Primeiro o numerador interno:
x - |x| = x - (-x) = x + x = 2x.
Como x<0, temos 2x<0. Logo
|x-|x|| = |2x| = -2x \qquad (\text{para } x<0).
Agora o denominador interno:
2x - |x| = 2x - (-x) = 2x + x = 3x.
Como x<0, temos 3x<0. Logo
|2x-|x|| = |3x| = -3x \qquad (\text{para } x<0).

Passo 4

Substituindo as expressões obtidas na fração original (válido para x<0, x\neq0):
\frac{|x-|x||}{|2x-|x||} = \frac{-2x}{-3x}.
Agora simplificamos: os sinais menos se cancelam e o fator x pode ser cancelado porque estamos considerando x próximo de 0 mas não igual a 0:
\frac{-2x}{-3x} = \frac{2}{3}\qquad (\text{para } x<0,\; x\neq0).

Passo 5

Como a expressão vale exatamente \tfrac{2}{3} para todos os x negativos próximos de 0 (exceto em x=0, onde a expressão fica indefinida), o limite lateral quando x tende a 0 pela esquerda é esse mesmo valor constante. Portanto o limite existe e é \tfrac{2}{3}.

Resposta

\tfrac{2}{3}

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