Encontre os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow 2 a} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{2 a}+\sqrt{x-2 a}}{\sqrt{x^{2}-4 a^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 2a} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{2a}+\sqrt{x-2a}}{\sqrt{x^{2}-4a^{2}}}.
Informações fornecidas e observações iniciais:
  • Há radicais: \sqrt{x}, \sqrt{2a} e \sqrt{x-2a}. Para que tudo faça sentido (números reais), exige-se 2a\ge 0, isto é, a\ge 0, e ao aproximar x de 2a a raiz \sqrt{x-2a} exige aproximação por valores x\ge 2a. Logo o limite é considerado pela direita quando necessário.
  • Se a=0 a expressão vira \dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x^2}} e o limite x\to0^+ diverge (vai para +\infty). Para um resultado finito é natural assumir a>0. A partir de agora vou assumir a>0.
  • O que se pede: calcular o valor numérico do limite quando x\to 2a (com a>0).

Passo 2

Para estudar o comportamento próximo de x=2a é conveniente fazer a substituição h=x-2a. Assim h\to 0^+ quando x\to2a^+. Reescrevendo tudo em termos de h:
x=2a+h, \qquad \sqrt{x}=\sqrt{2a+h}, \qquad \sqrt{x-2a}=\sqrt{h}.
Agora reescrevo denominador e numerador passo a passo. O denominador é
\sqrt{x^2-4a^2}=\sqrt{(2a+h)^2-4a^2}=\sqrt{4ah+h^2}=\sqrt{h(4a+h)}=\sqrt{h}\,\sqrt{4a+h}.
Portanto a fração original vira
\frac{\sqrt{2a+h}-\sqrt{2a}+\sqrt{h}}{\sqrt{h}\,\sqrt{4a+h}}.
Divido numerador e denominador por \sqrt{h} (isso é válido para h>0) para isolar os termos que tendem a zero:
\frac{\sqrt{2a+h}-\sqrt{2a}+\sqrt{h}}{\sqrt{h}\,\sqrt{4a+h}} = \frac{\dfrac{\sqrt{2a+h}-\sqrt{2a}}{\sqrt{h}}+1}{\sqrt{4a+h}}.

Passo 3

Agora preciso calcular o limite do termo \dfrac{\sqrt{2a+h}-\sqrt{2a}}{\sqrt{h}} quando h\to0^+. Faço uma manipulação algébrica clássica (racionalização da diferença de raízes):
\sqrt{2a+h}-\sqrt{2a}=\frac{(\sqrt{2a+h}-\sqrt{2a})(\sqrt{2a+h}+\sqrt{2a})}{\sqrt{2a+h}+\sqrt{2a}}=\frac{h}{\sqrt{2a+h}+\sqrt{2a}}.
Dividindo por \sqrt{h}
\frac{\sqrt{2a+h}-\sqrt{2a}}{\sqrt{h}}=\frac{h}{\sqrt{h}\,(\sqrt{2a+h}+\sqrt{2a})}=\frac{\sqrt{h}}{\sqrt{2a+h}+\sqrt{2a}}.
Quando h\to0^+ temos \sqrt{h}\to0 e o denominador \sqrt{2a+h}+\sqrt{2a}\to 2\sqrt{2a} (que é não nulo porque a>0). Portanto
\lim_{h\to0^+}\frac{\sqrt{2a+h}-\sqrt{2a}}{\sqrt{h}}=0.
Isso mostra que, na expressão do Passo 2, o numerador tende para 0+1=1.

Passo 4

Agora analiso o denominador restante \sqrt{4a+h}. Quando h\to0^+ temos
\lim_{h\to0^+}\sqrt{4a+h}=\sqrt{4a}=2\sqrt{a}.
Combinando os resultados dos passos anteriores, o limite total é
\lim_{h\to0^+}\frac{\dfrac{\sqrt{2a+h}-\sqrt{2a}}{\sqrt{h}}+1}{\sqrt{4a+h}}=\frac{0+1}{2\sqrt{a}}=\frac{1}{2\sqrt{a}}.

Passo 5

Breve interpretação didática: a diferença \sqrt{2a+h}-\sqrt{2a} é da ordem de h quando expandida, mas ao dividir por \sqrt{h} ela fica da ordem de \sqrt{h}, que tende a zero. Já o termo \sqrt{h} no numerador é da ordem \sqrt{h} e, ao dividir pelo denominador que também contém \sqrt{h}, esse termo dá contribuição não nula no limite — é justamente essa contribuição que produz o valor final 1/(2\sqrt{a}). Em palavras: o termo \sqrt{h} domina o comportamento assintótico frente ao termo linear em h quando se divide por \sqrt{h}.

Resposta

\dfrac{1}{2\sqrt{a}}

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