Encontre os seguintes limites.
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações fornecidas e observações iniciais:
- Há radicais:
, e . Para que tudo faça sentido (números reais), exige-se , isto é, , e ao aproximar de a raiz exige aproximação por valores . Logo o limite é considerado pela direita quando necessário. - Se
a expressão vira e o limite diverge (vai para ). Para um resultado finito é natural assumir . A partir de agora vou assumir . - O que se pede: calcular o valor numérico do limite quando
(com ).
Passo 2
Para estudar o comportamento próximo de
é conveniente fazer a substituição
. Assim
quando
. Reescrevendo tudo em termos de
:
Agora reescrevo denominador e numerador passo a passo. O denominador é
Portanto a fração original vira
Divido numerador e denominador por
(isso é válido para
) para isolar os termos que tendem a zero:
Passo 3
Agora preciso calcular o limite do termo
quando
. Faço uma manipulação algébrica clássica (racionalização da diferença de raízes):
Dividindo por
dá
Quando
temos
e o denominador
(que é não nulo porque
). Portanto
Isso mostra que, na expressão do Passo 2, o numerador tende para
.
Passo 4
Agora analiso o denominador restante
. Quando
temos
Combinando os resultados dos passos anteriores, o limite total é
Passo 5
Breve interpretação didática: a diferença
é da ordem de
quando expandida, mas ao dividir por
ela fica da ordem de
, que tende a zero. Já o termo
no numerador é da ordem
e, ao dividir pelo denominador que também contém
, esse termo dá contribuição não nula no limite — é justamente essa contribuição que produz o valor final
. Em palavras: o termo
domina o comportamento assintótico frente ao termo linear em
quando se divide por
.