Considere r \in \mathbb{R} e a sequência ( r^{n} ). Mostre que \lim r^{n}=1, para r=1.
Passo 1
O enunciado dá a sequência \bigl(r^n\bigr) com r\in\mathbb{R} e pede para mostrar que
\lim_{n\to\infty} r^n = 1
no caso r=1. O que vamos usar é a definição de limite de sequência e o fato de que uma sequência constante converge para o próprio valor constante.
Passo 2
Suponha r=1. Então, para todo n\in\mathbb{N},
r^n = 1^n = 1.
Logo a sequência é constante e igual a 1 em toda posição.
Passo 3
Pela definição de limite de sequência, para mostrar \lim_{n\to\infty}1^n=1 basta verificar que, dado \varepsilon>0, existe N tal que para todo n\ge N vale
\bigl|1^n - 1\bigr| = |1-1| = 0 < \varepsilon.
Como 0<\varepsilon para qualquer \varepsilon>0, basta tomar N=1 (ou qualquer natural) e a desigualdade já vale.