Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x-\sqrt{x^{2}+1}}{x^{2}-\sqrt{x^{4}+1}}

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x\to+\infty da expressão
\frac{x-\sqrt{x^{2}+1}}{x^{2}-\sqrt{x^{4}+1}}.
Informações dadas: a variável x tende para +\infty e a expressão contém raízes quadradas \sqrt{x^{2}+1} e \sqrt{x^{4}+1}. A pergunta é: qual é o valor desse limite?

Passo 2

Observação sobre a forma: tanto o numerador quanto o denominador têm uma diferença entre um termo polinomial e uma raiz. Uma técnica muito útil nesses casos é racionalizar (multiplicar por conjugados) para eliminar a diferença entre termos com raiz e assim simplificar. Vou racionalizar o numerador primeiro, multiplicando e dividindo por x+\sqrt{x^{2}+1}.

Passo 3

Racionalizando o numerador:
x-\sqrt{x^{2}+1}=\frac{(x-\sqrt{x^{2}+1})(x+\sqrt{x^{2}+1})}{x+\sqrt{x^{2}+1}}=\frac{x^{2}-(x^{2}+1)}{x+\sqrt{x^{2}+1}}=\frac{-1}{x+\sqrt{x^{2}+1}}.
Portanto o numerador simplifica exatamente para \displaystyle -\frac{1}{x+\sqrt{x^{2}+1}}.

Passo 4

Agora racionalizo o denominador da mesma forma, multiplicando e dividindo por x^{2}+\sqrt{x^{4}+1}:
x^{2}-\sqrt{x^{4}+1}=\frac{(x^{2}-\sqrt{x^{4}+1})(x^{2}+\sqrt{x^{4}+1})}{x^{2}+\sqrt{x^{4}+1}}=\frac{x^{4}-(x^{4}+1)}{x^{2}+\sqrt{x^{4}+1}}=\frac{-1}{x^{2}+\sqrt{x^{4}+1}}.
Logo o denominador é \displaystyle -\frac{1}{x^{2}+\sqrt{x^{4}+1}}.

Passo 5

Substituindo essas formas na expressão original, temos
\frac{x-\sqrt{x^{2}+1}}{x^{2}-\sqrt{x^{4}+1}} = \frac{-\dfrac{1}{x+\sqrt{x^{2}+1}}}{-\dfrac{1}{x^{2}+\sqrt{x^{4}+1}}} = \frac{x^{2}+\sqrt{x^{4}+1}}{x+\sqrt{x^{2}+1}}.
Os sinais negativos se cancelaram. Agora a expressão está numa forma onde é fácil extrair o comportamento dominante quando x cresce.

Passo 6

Fatoramos as potências dominantes para ver o limite claramente. No numerador fatoramos x^{2}, no denominador fatoramos x:
\frac{x^{2}+\sqrt{x^{4}+1}}{x+\sqrt{x^{2}+1}} = \frac{x^{2}\bigl(1+\sqrt{1+\tfrac{1}{x^{4}}}\bigr)}{x\bigl(1+\sqrt{1+\tfrac{1}{x^{2}}}\bigr)} = x\cdot\frac{1+\sqrt{1+\tfrac{1}{x^{4}}}}{1+\sqrt{1+\tfrac{1}{x^{2}}}}.
Agora usamos que, quando x\to+\infty, temos \sqrt{1+\tfrac{1}{x^{4}}}\to1 e \sqrt{1+\tfrac{1}{x^{2}}}\to1 por continuidade da raiz quadrada.

Passo 7

Tomando o limite:
\lim_{x\to+\infty} x\cdot\frac{1+\sqrt{1+\tfrac{1}{x^{4}}}}{1+\sqrt{1+\tfrac{1}{x^{2}}}} = \lim_{x\to+\infty} x\cdot\frac{1+1}{1+1} = \lim_{x\to+\infty} x \cdot 1 = +\infty.
Portanto a expressão cresce sem limite, ou seja, o limite é +\infty.

Resposta

+\infty

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