Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
da expressão
Informações dadas: a variável
tende para
e a expressão contém raízes quadradas
e
. A pergunta é: qual é o valor desse limite?
Passo 2
Observação sobre a forma: tanto o numerador quanto o denominador têm uma diferença entre um termo polinomial e uma raiz. Uma técnica muito útil nesses casos é racionalizar (multiplicar por conjugados) para eliminar a diferença entre termos com raiz e assim simplificar. Vou racionalizar o numerador primeiro, multiplicando e dividindo por
.
Passo 3
Racionalizando o numerador:
Portanto o numerador simplifica exatamente para
.
Passo 4
Agora racionalizo o denominador da mesma forma, multiplicando e dividindo por
:
Logo o denominador é
.
Passo 5
Substituindo essas formas na expressão original, temos
Os sinais negativos se cancelaram. Agora a expressão está numa forma onde é fácil extrair o comportamento dominante quando
cresce.
Passo 6
Fatoramos as potências dominantes para ver o limite claramente. No numerador fatoramos
, no denominador fatoramos
:
Agora usamos que, quando
, temos
e
por continuidade da raiz quadrada.
Passo 7
Tomando o limite:
Portanto a expressão cresce sem limite, ou seja, o limite é
.