Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas: temos duas expressões com raiz quadrada,
e
, e a variável
tende para
. Não há mais dados; precisamos manipular essa diferença para avaliar o limite.
Passo 2
Observação importante (indeterminação): ao olhar para cada termo separadamente, ambos tendem a
quando
, então a expressão é do tipo
, que é uma forma indeterminada — ou seja, não podemos concluir o valor do limite só por olhar. Para esse tipo de problema o truque clássico é eliminar a indeterminação usando a multiplicação pelo conjugado (racionalizar), que transforma a diferença de raízes numa expressão algébrica mais fácil de analisar.
Passo 3
Aplicando a multiplicação pelo conjugado: multiplicamos a expressão por
. Assim,
Passo 4
No numerador usamos a identidade
. Portanto o numerador vira
Logo a expressão fica
Passo 5
Agora simplificamos para analisar o limite. Como estamos fazendo
, podemos factorar
dentro das raízes (note que para
,
). Assim,
Substituindo no denominador obtemos
Portanto a expressão completa é
Passo 6
Tomamos o limite
. As quantidades
e
tendem a
. A função raiz quadrada é contínua em pontos positivos, então podemos passar ao limite dentro das raízes:
No numerador temos
. Assim o limite da fração é
Passo 7
Interpretação final: a diferença das duas raízes, embora cada uma cresça sem limite, estabiliza-se e tende ao valor finito
. Esse comportamento foi revelado ao racionalizar e dividir por
, que expõe os termos dominantes quando
é grande.