Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x^{2}+4 x}-\sqrt{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to +\infty} \sqrt{x^{2}+4x}-\sqrt{x^{2}+1}.
Informações dadas: temos duas expressões com raiz quadrada, \sqrt{x^{2}+4x} e \sqrt{x^{2}+1}, e a variável x tende para +\infty. Não há mais dados; precisamos manipular essa diferença para avaliar o limite.

Passo 2

Observação importante (indeterminação): ao olhar para cada termo separadamente, ambos tendem a +\infty quando x\to+\infty, então a expressão é do tipo \infty-\infty, que é uma forma indeterminada — ou seja, não podemos concluir o valor do limite só por olhar. Para esse tipo de problema o truque clássico é eliminar a indeterminação usando a multiplicação pelo conjugado (racionalizar), que transforma a diferença de raízes numa expressão algébrica mais fácil de analisar.

Passo 3

Aplicando a multiplicação pelo conjugado: multiplicamos a expressão por
\dfrac{\sqrt{x^{2}+4x}+\sqrt{x^{2}+1}}{\sqrt{x^{2}+4x}+\sqrt{x^{2}+1}}. Assim,
\sqrt{x^{2}+4x}-\sqrt{x^{2}+1} = \frac{\big(\sqrt{x^{2}+4x}-\sqrt{x^{2}+1}\big)\big(\sqrt{x^{2}+4x}+\sqrt{x^{2}+1}\big)} {\sqrt{x^{2}+4x}+\sqrt{x^{2}+1}}.

Passo 4

No numerador usamos a identidade (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}. Portanto o numerador vira
(x^{2}+4x)-(x^{2}+1)=4x-1.
Logo a expressão fica
\sqrt{x^{2}+4x}-\sqrt{x^{2}+1} = \frac{4x-1}{\sqrt{x^{2}+4x}+\sqrt{x^{2}+1}}.

Passo 5

Agora simplificamos para analisar o limite. Como estamos fazendo x\to+\infty, podemos factorar x dentro das raízes (note que para x>0, \sqrt{x^{2}}=x). Assim,
\sqrt{x^{2}+4x}=x\sqrt{1+\frac{4}{x}},\qquad \sqrt{x^{2}+1}=x\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}.
Substituindo no denominador obtemos
\sqrt{x^{2}+4x}+\sqrt{x^{2}+1} = x\Big(\sqrt{1+\frac{4}{x}}+\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}\Big).
Portanto a expressão completa é
\frac{4x-1}{\sqrt{x^{2}+4x}+\sqrt{x^{2}+1}} = \frac{4x-1}{x\Big(\sqrt{1+\frac{4}{x}}+\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}\Big)} = \frac{4-\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{4}{x}}+\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}.

Passo 6

Tomamos o limite x\to+\infty. As quantidades \dfrac{1}{x} e \dfrac{1}{x^{2}} tendem a 0. A função raiz quadrada é contínua em pontos positivos, então podemos passar ao limite dentro das raízes:
\lim_{x\to+\infty}\sqrt{1+\frac{4}{x}}=1,\qquad \lim_{x\to+\infty}\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}=1.
No numerador temos \lim_{x\to+\infty}\left(4-\dfrac{1}{x}\right)=4. Assim o limite da fração é
\frac{4}{1+1}=\frac{4}{2}=2.

Passo 7

Interpretação final: a diferença das duas raízes, embora cada uma cresça sem limite, estabiliza-se e tende ao valor finito 2. Esse comportamento foi revelado ao racionalizar e dividir por x, que expõe os termos dominantes quando x é grande.

Resposta

2

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