Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\frac{x^{3}}{3 x^{2}-4}-\frac{x^{2}}{3 x+2}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{3x^{2}-4}-\frac{x^{2}}{3x+2}\right).
Informações dadas: a expressão é a diferença de duas frações racionais envolvendo potências de x, e a variável x tende a -\infty. Não há mais dados ocultos.

Passo 2

Ideia inicial e razão do método: quando x\to\pm\infty os termos polinomiais de maior grau dominam cada fração. Vou organizar cada parcela dividindo numerador e denominador pelo maior poder de x presente no denominador de cada parcela, para expor o comportamento principal e facilitar cancelamentos. Isso é útil na prova porque evita operações longas com somas de polinômios e permite ver termos que se anulam.

Passo 3

Reescrevo cada parcela extraindo um fator x comum, usando que para x\neq0
\frac{x^{3}}{3x^{2}-4}=x\cdot\frac{x^{2}}{3x^{2}-4}=x\cdot\frac{1}{3-\dfrac{4}{x^{2}}}
e
\frac{x^{2}}{3x+2}=x\cdot\frac{x}{3x+2}=x\cdot\frac{1}{3+\dfrac{2}{x}}.
Aqui eu dividi numerador e denominador por x^{2} na primeira fração e por x na segunda para deixar em função de frações que tendem a constantes quando x\to\pm\infty.

Passo 4

Coloco a expressão original em função desses factorizados:
\frac{x^{3}}{3x^{2}-4}-\frac{x^{2}}{3x+2} = x\left(\frac{1}{3-\dfrac{4}{x^{2}}}-\frac{1}{3+\dfrac{2}{x}}\right).

Passo 5

Faço a diferença das frações dentro do parêntese com denominador comum:
\frac{1}{3-\dfrac{4}{x^{2}}}-\frac{1}{3+\dfrac{2}{x}} =\frac{\left(3+\dfrac{2}{x}\right)-\left(3-\dfrac{4}{x^{2}}\right)} {\left(3-\dfrac{4}{x^{2}}\right)\left(3+\dfrac{2}{x}\right)}.
No numerador simplifico:
\left(3+\dfrac{2}{x}\right)-\left(3-\dfrac{4}{x^{2}}\right)=\dfrac{2}{x}+\dfrac{4}{x^{2}}=\dfrac{2}{x}\left(1+\dfrac{2}{x}\right).

Passo 6

Substituo essa diferença na expressão total e cancelo o x externo com o \dfrac{1}{x} do numerador:
x\cdot\frac{\dfrac{2}{x}\left(1+\dfrac{2}{x}\right)} {\left(3-\dfrac{4}{x^{2}}\right)\left(3+\dfrac{2}{x}\right)} = \frac{2\left(1+\dfrac{2}{x}\right)} {\left(3-\dfrac{4}{x^{2}}\right)\left(3+\dfrac{2}{x}\right)}.

Passo 7

Agora posso tomar o limite x\to -\infty. Observações: \dfrac{2}{x}\to 0 e \dfrac{4}{x^{2}}\to 0 quando x\to -\infty. Como produtos e quocientes de funções que têm limites estão bem comportados aqui, aplico o limite componente a componente:
\lim_{x\to -\infty}\frac{2\left(1+\dfrac{2}{x}\right)} {\left(3-\dfrac{4}{x^{2}}\right)\left(3+\dfrac{2}{x}\right)} = \frac{2\cdot(1+0)}{(3-0)(3+0)}=\frac{2}{9}.

Resposta

\dfrac{2}{9}

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