Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{5 x^{2}-x}{x^{2}-x}-\frac{3 x^{3}-4}{x^{3}-x}\right)^{4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite quando x tende a +\infty da expressão
\left(\frac{5x^{2}-x}{x^{2}-x}-\frac{3x^{3}-4}{x^{3}-x}\right)^{4}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A variável que tende ao infinito é x, isto é, x\to+\infty.
  • Dentro dos parênteses há a diferença de duas frações racionais: \dfrac{5x^{2}-x}{x^{2}-x} e \dfrac{3x^{3}-4}{x^{3}-x}.
  • Depois dessa diferença, aplicamos a potência 4.
  • Precisamos encontrar o valor limite da expressão completa.

Passo 2

Estratégia simples e frequentemente útil: para limites quando x\to+\infty em razões de polinômios, dividimos numerador e denominador pelo maior grau de x presente em cada fração para ver o comportamento assintótico. Vou aplicar isso primeiro separadamente às duas frações dentro dos parênteses.
Para a primeira fração:
\frac{5x^{2}-x}{x^{2}-x} = \frac{x^{2}\left(5-\dfrac{1}{x}\right)}{x^{2}\left(1-\dfrac{1}{x}\right)} = \frac{5-\dfrac{1}{x}}{1-\dfrac{1}{x}}.
Quando x\to+\infty, temos \dfrac{1}{x}\to 0. Logo
\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^{2}-x}{x^{2}-x} = \frac{5-0}{1-0}=5.

Passo 3

Agora a segunda fração:
\frac{3x^{3}-4}{x^{3}-x} = \frac{x^{3}\left(3-\dfrac{4}{x^{3}}\right)}{x^{3}\left(1-\dfrac{1}{x^{2}}\right)} = \frac{3-\dfrac{4}{x^{3}}}{1-\dfrac{1}{x^{2}}}.
Quando x\to+\infty, temos \dfrac{4}{x^{3}}\to 0 e \dfrac{1}{x^{2}}\to 0. Portanto
\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^{3}-4}{x^{3}-x} = \frac{3-0}{1-0}=3.

Passo 4

Com os dois limites parciais, a expressão dentro dos parênteses tende a
5-3=2.
Como o limite interno é um número finito, e a função t\mapsto t^{4} é contínua em todo \mathbb{R}, podemos passar o limite para dentro da potência:
\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{5x^{2}-x}{x^{2}-x}-\frac{3x^{3}-4}{x^{3}-x}\right)^{4} = \left(\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{5x^{2}-x}{x^{2}-x}-\frac{3x^{3}-4}{x^{3}-x}\right)\right)^{4} = 2^{4}.

Passo 5

Se quiser ver de forma algébrica (sem usar continuidade diretamente), podemos unificar as frações e calcular o limite da diferença como uma única razão. Observando fatores:
x^{2}-x = x(x-1),\qquad x^{3}-x = x(x-1)(x+1).
Colocando sobre o mesmo denominador x(x-1)(x+1):
\frac{5x^{2}-x}{x^{2}-x}-\frac{3x^{3}-4}{x^{3}-x} = \frac{(5x^{2}-x)(x+1)-(3x^{3}-4)}{x(x-1)(x+1)}.
Calculando o numerador:
(5x^{2}-x)(x+1)=5x^{3}+4x^{2}-x,
5x^{3}+4x^{2}-x-(3x^{3}-4)=2x^{3}+4x^{2}-x+4.
Logo a diferença é
\frac{2x^{3}+4x^{2}-x+4}{x^{3}-x}.
Dividindo numerador e denominador por x^{3} para x\to+\infty:
\frac{2+\dfrac{4}{x}-\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{4}{x^{3}}}{1-\dfrac{1}{x^{2}}}\to \frac{2}{1}=2.
Então novamente obtemos limite interno igual a 2, e elevando à quarta potência dá 16.

Passo 6

Resumo didático (regra prática para prova):
  • Para frações de polinômios, divida numerador e denominador pelo maior grau de x para identificar o termo dominante.
  • Se cada fração tem limite finito, subtraia os limites e depois aplique potências, usando continuidade da função potência.
    Exemplo rápido: \lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{x^{2}+3x}{2x^{2}-1}\right)=\dfrac{1}{2} porque dividimos por x^{2} e obtemos \dfrac{1+3/x}{2-1/x^{2}}\to\dfrac{1}{2}.

Resposta

16

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