Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite quando
tende a
da expressão
Informações dadas e o que é pedido:
- A variável que tende ao infinito é
, isto é, . - Dentro dos parênteses há a diferença de duas frações racionais:
e . - Depois dessa diferença, aplicamos a potência
. - Precisamos encontrar o valor limite da expressão completa.
Passo 2
Estratégia simples e frequentemente útil: para limites quando
em razões de polinômios, dividimos numerador e denominador pelo maior grau de
presente em cada fração para ver o comportamento assintótico. Vou aplicar isso primeiro separadamente às duas frações dentro dos parênteses.
Para a primeira fração:
Quando
, temos
. Logo
Passo 3
Agora a segunda fração:
Quando
, temos
e
. Portanto
Passo 4
Com os dois limites parciais, a expressão dentro dos parênteses tende a
Como o limite interno é um número finito, e a função
é contínua em todo
, podemos passar o limite para dentro da potência:
Passo 5
Se quiser ver de forma algébrica (sem usar continuidade diretamente), podemos unificar as frações e calcular o limite da diferença como uma única razão. Observando fatores:
Colocando sobre o mesmo denominador
:
Calculando o numerador:
Logo a diferença é
Dividindo numerador e denominador por
para
:
Então novamente obtemos limite interno igual a
, e elevando à quarta potência dá
.
Passo 6
Resumo didático (regra prática para prova):
- Para frações de polinômios, divida numerador e denominador pelo maior grau de
para identificar o termo dominante. - Se cada fração tem limite finito, subtraia os limites e depois aplique potências, usando continuidade da função potência.
Exemplo rápido:porque dividimos por e obtemos .