Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \ln \left(\frac{x^{4}+27 x-2}{x^{4}+3 x-22}\right)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to+\infty}\ln\!\biggl(\frac{x^{4}+27x-2}{x^{4}+3x-22}\biggr).
O conteúdo é limite de funções racionais e uso da continuidade do logaritmo neperiano.

Passo 2

Primeiro encontramos o limite da razão interna
R = \frac{x^{4}+27x-2}{x^{4}+3x-22}.
Fatorando x^{4} em numerador e denominador, temos
R = \frac{x^{4}\bigl(1+\tfrac{27}{x^{3}}-\tfrac{2}{x^{4}}\bigr)}{x^{4}\bigl(1+\tfrac{3}{x^{3}}-\tfrac{22}{x^{4}}\bigr)} = \frac{1+\tfrac{27}{x^{3}}-\tfrac{2}{x^{4}}}{1+\tfrac{3}{x^{3}}-\tfrac{22}{x^{4}}}.
À medida que x\to+\infty, todos os termos \tfrac{27}{x^{3}},\tfrac{2}{x^{4}},\tfrac{3}{x^{3}},\tfrac{22}{x^{4}} tendem a 0. Logo
\lim_{x\to+\infty}R = \frac{1+0-0}{1+0-0} = 1.

Passo 3

Como a função \ln é contínua em 1, podemos trocar o limite e o logaritmo:
\lim_{x\to+\infty}\ln(R) = \ln\Bigl(\lim_{x\to+\infty}R\Bigr) = \ln(1) = 0.

Resposta

0

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