\qquad Questão 6. \qquad
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função y=\frac{1}{x}, no ponto de abscissa x=1. \qquad

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico da função y=\frac{1}{x} no ponto cuja abscissa é x=1. Para isso, precisamos (1) obter a derivada f'(x) de f(x)=1/x, (2) calcular o coeficiente angular m=f'(1) e (3) usar a fórmula da reta tangente em torno do ponto (1,f(1)).

Passo 2

Calcular a derivada de f(x)=\frac{1}{x}. Podemos reescrever f(x)=x^{-1} e usar a regra do poder:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr)=-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}}.

Passo 3

Avaliar a derivada em x=1:
m=f'(1)=-\frac{1}{1^{2}}=-1.
Logo, o coeficiente angular da reta tangente é m=-1.

Passo 4

Determinar as coordenadas do ponto de tangência. Como x=1 e y=f(1)=1/1=1, o ponto é (x_{0},y_{0})=(1,1).

Passo 5

Usar a fórmula da reta tangente em torno de (x_{0},y_{0}):
y - y_{0} = m\,(x - x_{0}).
Substituindo x_{0}=1, y_{0}=1 e m=-1, temos
y - 1 = -1\,(x - 1) \quad\Longrightarrow\quad y - 1 = -x + 1 \quad\Longrightarrow\quad y = -x + 2.

Resposta

A equação da reta tangente é
y = -x + 2.

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