Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow p} \frac{\cos \left(x^{2}-p^{2}\right)-1}{x-p}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to p}\frac{\cos\bigl(x^{2}-p^{2}\bigr)-1}{x-p}
que é um limite de tipo indeterminado \tfrac{0}{0}. Vamos usar a regra de L’Hôpital, pois numerador e denominador são diferenciáveis em torno de x=p.

Passo 2

Verificamos a indeterminação: ao substituir x=p temos
\cos\bigl(p^{2}-p^{2}\bigr)-1=\cos(0)-1=1-1=0 \quad\text{e}\quad p-p=0,
logo é \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
derivada do numerador
\frac{d}{dx}\bigl[\cos(x^{2}-p^{2})-1\bigr] =-\sin(x^{2}-p^{2})\cdot2x
derivada do denominador
\frac{d}{dx}[\,x-p\,]=1.

Passo 4

O limite passa a ser
\lim_{x\to p}\bigl[-2x\sin(x^{2}-p^{2})\bigr] =-2p\sin\bigl(p^{2}-p^{2}\bigr) =-2p\sin(0) =0.

Resposta

0

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