Resolva as integrais abaixo:
\int_{-3}^{0} 3-x^{2}+4 x^{3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-3}^{0}\bigl(3 - x^{2} + 4x^{3}\bigr)\,dx.
Esse é um caso de integral de polinômio, onde vamos usar a regra básica
\displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}
e o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz
\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a)
sendo F uma primitiva de f.

Passo 2

Vamos achar uma primitiva F(x) de f(x)=3 - x^{2} + 4x^{3} termo a termo:
- Para 3, \int 3\,dx = 3x.
- Para -x^{2}, \int -x^{2}\,dx = -\frac{x^{3}}{3}.
- Para 4x^{3}, \int 4x^{3}\,dx = 4\cdot\frac{x^{4}}{4} = x^{4}.
Logo,
F(x) = x^{4} - \frac{x^{3}}{3} + 3x.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{-3}^{0}(3 - x^{2} + 4x^{3})\,dx = F(0) - F(-3).

Passo 4

Calculamos os valores de F nos limites:
F(0) = 0^{4} - \frac{0^{3}}{3} + 3\cdot 0 = 0,
F(-3) = (-3)^{4} - \frac{(-3)^{3}}{3} + 3\cdot(-3) = 81 - \bigl(-27/3\bigr) - 9 = 81 + 9 - 9 = 81.
Portanto,
\int_{-3}^{0}(3 - x^{2} + 4x^{3})\,dx = 0 - 81 = -81.

Resposta

-81

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