Questão 3.
Determine os domínio e esboce gráficos da função
f(x)=\left|\frac{1}{2}(x-1)(x+2)\right|.

Passo 1

O enunciado pede o domínio e o esboço do gráfico de
f(x) = \left|\tfrac12\,(x-1)(x+2)\right|.
Aqui o conteúdo é valor absoluto aplicado a uma função polinomial (quadrática). Precisamos determinar onde essa quadrática é positiva ou negativa e então traçar f(x) como a própria quadrática onde ela for não negativa e como o seu simétrico (com sinal trocado) onde for negativa.

Passo 2

Como \tfrac12\,(x-1)(x+2) é um polinômio definido para todo x\in\mathbb{R}, o domínio de f é
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}.

Passo 3

Definimos
g(x)=\tfrac12\,(x-1)(x+2)=\tfrac12\,x^2+\tfrac12\,x-1.
Então f(x)=|g(x)|.

Passo 4

As raízes de g vêm de (x-1)(x+2)=0, logo
x=1\quad\text{e}\quad x=-2.
Em x=-2 e x=1 temos g(x)=0, portanto f(x)=0.

Passo 5

O vértice da parábola g(x)=ax^2+bx+c está em
x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{\tfrac12}{2\cdot\tfrac12} = -\tfrac12.
O valor em x_v é
g(-\tfrac12)=\tfrac12\bigl((-0,5)^2+(-0,5)-2\bigr)=\tfrac12\cdot(-2,25)=-1,125.
Como esse valor é negativo, para f o ponto de “vértice” vira
\bigl(-\tfrac12,\;|g(-\tfrac12)|\bigr)=\bigl(-0,5,\;1,125\bigr),
e é um ponto de máximo local em f.

Passo 6

Para construir o gráfico de f\) usamos \[f(x)=\begin{cases} g(x),&g(x)\ge0,\\\\ -g(x),&g(x)<0. \end{cases}
Como g(x)\ge0\] quando \(x\le-2 ou x\ge1, nos braços x\le-2 e x\ge1 o gráfico é a parábola original voltando para cima. Entre -2 e 1, g(x)<0, então o gráfico de f é a parábola refletida acima do eixo x, atingindo o pico ( -0,5,1,125).

Passo 7

Esquema do gráfico de f:
  • Zeros em (-2,0) e (1,0).
  • Para x\le-2 e x\ge1, curva quadrática crescente até o infinito.
  • Para -2<x<1, curva quadrática “invertida” atingindo máximo em \bigl(-0,5,1,125\bigr).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Gráfico: parábola original g(x) para x\le-2 e x\ge1, e seu reflexo -g(x) no intervalo -2<x<1, com zeros em -2 e 1 e ponto de máximo em \bigl(-0,5,1,125\bigr).

Exercícios relacionados