Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{2+e^{3 x}}{3+3^{2 x}}\right);

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x\to+\infty da expressão
\frac{2+e^{3x}}{3+3^{2x}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A variável que tende ao infinito é x.
  • O numerador é 2+e^{3x}.
  • O denominador é 3+3^{2x}.
  • Para x grande ambos e^{3x} e 3^{2x} são positivos, logo a fração é positiva para x grande.
    O que se pede: calcular \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{2+e^{3x}}{3+3^{2x}}.

Passo 2

Ideia prática (explicitação didática): quando aparecem somas em numerador e denominador com termos exponenciais, uma estratégia simples é dividir numerador e denominador por um dos termos exponenciais para ver quais parcelas dominam quando x\to+\infty. Vou dividir por e^{3x} (pode-se dividir também por 3^{2x}; explico a equivalência depois).
Dividindo por e^{3x} obtemos
\frac{2+e^{3x}}{3+3^{2x}} = \frac{2e^{-3x}+1}{3e^{-3x}+3^{2x}e^{-3x}}.

Passo 3

Simplificar a expressão que ficou no denominador usando potências:
3^{2x}e^{-3x} = (3^2)^x e^{-3x} = 9^x e^{-3x} = \left(\frac{9}{e^3}\right)^x.
Logo a fração escrita fica
\frac{2e^{-3x}+1}{3e^{-3x}+\left(\dfrac{9}{e^3}\right)^x}.

Passo 4

Analisar cada termo quando x\to+\infty:
  • 2e^{-3x}: como e^{3x}\to+\infty, temos e^{-3x}\to0, logo 2e^{-3x}\to0.
  • 3e^{-3x}\to0 pelo mesmo motivo.
  • Para o termo \left(\dfrac{9}{e^3}\right)^x é útil notar que
\frac{9}{e^3}\approx\frac{9}{20{,}085}\approx0{,}448<1.
Se 0<a<1, então a^x\to0 quando x\to+\infty. Portanto \left(\dfrac{9}{e^3}\right)^x\to0.

Passo 5

Substituindo os limites parciais na fração normalizada:
  • O numerador 2e^{-3x}+1 tende a 0+1=1.
  • O denominador 3e^{-3x}+\left(\dfrac{9}{e^3}\right)^x tende a 0+0=0.
    Como todas as parcelas são positivas para x grande, o denominador tende a 0 pela direita (tende a 0^+). Portanto a fração tende a 1/0^+=+\infty.

Passo 6

Comentário adicional (intuição alternativa): comparar as bases das exponenciais originais. Reescrevendo
e^{3x}=(e^3)^x,\qquad 3^{2x}=(9)^x.
Como e^3\approx20{,}085>9, temos \dfrac{e^3}{9}>1, então
\frac{e^{3x}}{3^{2x}}=\left(\frac{e^3}{9}\right)^x\to+\infty,
o que também indica que o termo e^{3x} cresce muito mais rápido que 3^{2x} e domina a razão, levando o limite a +\infty.

Resposta

+\infty

Exercícios relacionados