Calcule os seguintes limites:
;
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
da expressão
Informações dadas e observações imediatas:
- A variável que tende ao infinito é
. - O numerador é
. - O denominador é
. - Para
grande ambos e são positivos, logo a fração é positiva para grande.
O que se pede: calcular.
Passo 2
Ideia prática (explicitação didática): quando aparecem somas em numerador e denominador com termos exponenciais, uma estratégia simples é dividir numerador e denominador por um dos termos exponenciais para ver quais parcelas dominam quando
. Vou dividir por
(pode-se dividir também por
; explico a equivalência depois).
Dividindo por
obtemos
Passo 3
Simplificar a expressão que ficou no denominador usando potências:
Logo a fração escrita fica
Passo 4
Analisar cada termo quando
:
-
: como , temos , logo . -
pelo mesmo motivo. - Para o termo
é útil notar que
Se
, então
quando
. Portanto
.
Passo 5
Substituindo os limites parciais na fração normalizada:
- O numerador
tende a . - O denominador
tende a .
Como todas as parcelas são positivas paragrande, o denominador tende a pela direita (tende a ). Portanto a fração tende a .
Passo 6
Comentário adicional (intuição alternativa): comparar as bases das exponenciais originais. Reescrevendo
Como
, temos
, então
o que também indica que o termo
cresce muito mais rápido que
e domina a razão, levando o limite a
.