Calcule os seguintes limites:
;
Passo 1
O que o problema pede e o que temos: calcular o limite
onde
é uma constante (não depende de
). O que sabemos do enunciado:
- A variável que tende a infinito é
. - O parâmetro
é fixo. - A expressão tem a forma de uma quantidade próxima de
elevada a uma potência que tende a infinito, então é um tipo clássico de limite do tipo “forma indeterminada” .
Passo 2
Transformação padrão para tratar formas
: escrever a potência como exponencial usando logaritmo natural. Para
grande (especificamente para
) o quociente
é positivo, então podemos escrever
Assim o limite procurado é
desde que o limite do expoente exista (ou seja finito).
Passo 3
Simplificar o logaritmo para encontrar o limite do expoente. Escrevemos a fração em termos de
:
Portanto
Passo 4
Avaliar
.
Faço a troca , então
quando
. O expoente vira
Faço a troca
Usamos a propriedade básica (que pode ser obtida por série ou por regra de L’Hôpital):
Aplicando essa propriedade com
e com
obtemos
Subtraindo,
Logo o limite do expoente é
.
Passo 5
Volto à exponencial: como o limite do expoente existe e vale
, o limite original é
Portanto o limite é
. Uma checagem rápida: se
então a expressão tende a
, o que está de acordo com o cálculo.