Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x-a}{x+a}\right)^{x};

Passo 1

O que o problema pede e o que temos: calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x-a}{x+a}\right)^{x},
onde a é uma constante (não depende de x). O que sabemos do enunciado:
  • A variável que tende a infinito é x.
  • O parâmetro a é fixo.
  • A expressão tem a forma de uma quantidade próxima de 1 elevada a uma potência que tende a infinito, então é um tipo clássico de limite do tipo “forma indeterminada” 1^{\infty}.

Passo 2

Transformação padrão para tratar formas 1^{\infty}: escrever a potência como exponencial usando logaritmo natural. Para x grande (especificamente para x>|a|) o quociente \dfrac{x-a}{x+a} é positivo, então podemos escrever
\left(\frac{x-a}{x+a}\right)^{x}=\exp\!\Big(x\ln\!\big(\tfrac{x-a}{x+a}\big)\Big).
Assim o limite procurado é
\lim_{x\to\infty}\exp\!\Big(x\ln\!\big(\tfrac{x-a}{x+a}\big)\Big) =\exp\!\Big(\lim_{x\to\infty}x\ln\!\big(\tfrac{x-a}{x+a}\big)\Big),
desde que o limite do expoente exista (ou seja finito).

Passo 3

Simplificar o logaritmo para encontrar o limite do expoente. Escrevemos a fração em termos de 1\pm a/x:
\frac{x-a}{x+a}=\frac{1-\tfrac{a}{x}}{1+\tfrac{a}{x}}.
Portanto
\ln\!\big(\tfrac{x-a}{x+a}\big)=\ln\!\big(1-\tfrac{a}{x}\big)-\ln\!\big(1+\tfrac{a}{x}\big).

Passo 4

Avaliar \displaystyle \lim_{x\to\infty} x\Big[\ln\!\big(1-\tfrac{a}{x}\big)-\ln\!\big(1+\tfrac{a}{x}\big)\Big].
Faço a troca u=\tfrac{1}{x}, então u\to0^+ quando x\to\infty. O expoente vira
\frac{\ln(1-au)-\ln(1+au)}{u} =\frac{\ln(1-au)}{u}-\frac{\ln(1+au)}{u}.
Usamos a propriedade básica (que pode ser obtida por série ou por regra de L’Hôpital):
\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1.
Aplicando essa propriedade com t=-au e com t=au obtemos
\lim_{u\to0}\frac{\ln(1-au)}{u}=\lim_{u\to0}\frac{\ln(1-au)}{-au}\cdot(-a)=-a,
\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+au)}{u}=a.
Subtraindo,
\lim_{u\to0}\Big(\frac{\ln(1-au)}{u}-\frac{\ln(1+au)}{u}\Big)=-a - a = -2a.
Logo o limite do expoente é -2a.

Passo 5

Volto à exponencial: como o limite do expoente existe e vale -2a, o limite original é
\exp(-2a).
Portanto o limite é e^{-2a}. Uma checagem rápida: se a=1 então a expressão tende a e^{-2}, o que está de acordo com o cálculo.

Resposta

e^{-2a}

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