Prove que \lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e completando as partes (a) e (b).
a) Use a equação \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e e a subistituição t=\frac{1}{x} para provar que \lim _{x \rightarrow 0^{+}}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e.
b) Use a equação \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e e a subistituição t=\frac{1}{x} para provar que \lim _{x \rightarrow 0^{-}}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função (1+x)^{\frac{1}{x}} tem limite e quando x\to 0, completando duas partes separadas:
  • (a) Provar que \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e usando a informação \displaystyle \lim_{u\to +\infty}\left(1+\frac{1}{u}\right)^{u}=e e a substituição t=\dfrac{1}{x}.
  • (b) Provar que \displaystyle \lim_{x\to 0^{-}}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e usando a informação \displaystyle \lim_{u\to -\infty}\left(1+\frac{1}{u}\right)^{u}=e e a mesma substituição t=\dfrac{1}{x}.
Informações relevantes dadas:
  • Tem-se por hipótese as duas limites-saídas \displaystyle \lim_{u\to\pm\infty}\left(1+\frac{1}{u}\right)^{u}=e.
  • A substituição indicada é t=\dfrac{1}{x}, logo x=\dfrac{1}{t}.
  • Deve-se observar o comportamento de t quando x\to 0^{+} (ou 0^{-}).

Passo 2

Explicar a relação entre as variáveis e o efeito da substituição. Se t=\dfrac{1}{x}, então:
x=\dfrac{1}{t}.
Quando x\to 0^{+} (isto é, x positivo e tendendo a zero), temos t=\dfrac{1}{x}\to +\infty. Quando x\to 0^{-} (isto é, x negativo e tendendo a zero), temos t=\dfrac{1}{x}\to -\infty.
Também é importante garantir que a expressão está bem definida: para x próximo de 0 tem-se 1+x>0 (por exemplo para x\in(-1,+\infty)), logo (1+x)^{1/x} é bem definida como número real próximo de x=0.

Passo 3

Aplicar a substituição na expressão. Substituindo x=\dfrac{1}{t} dentro de (1+x)^{\frac{1}{x}} obtém-se:
(1+x)^{\frac{1}{x}}=\left(1+\dfrac{1}{t}\right)^{t}.
Portanto a função desejada vista em termos de t é exatamente a função \left(1+\dfrac{1}{t}\right)^{t}, cuja hipótese do enunciado já fornece o comportamento quando t\to\pm\infty.

Passo 4

Parte (a) — limite pela direita. Como x\to 0^{+} implica t=\dfrac{1}{x}\to +\infty, pela igualdade encontrada no passo anterior temos
\lim_{x\to 0^{+}}(1+x)^{\frac{1}{x}} =\lim_{t\to +\infty}\left(1+\dfrac{1}{t}\right)^{t}.
Pela hipótese do enunciado \displaystyle \lim_{t\to +\infty}\left(1+\dfrac{1}{t}\right)^{t}=e. Logo
\lim_{x\to 0^{+}}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e.
(Em termos mais formais, isto é apenas a substituição de variável em um limite: se t=1/x e t\to+\infty quando x\to0^{+}, então os limites compostos coincidem.)

Passo 5

Parte (b) — limite pela esquerda. Agora x\to 0^{-} implica t=\dfrac{1}{x}\to -\infty. Usando a mesma igualdade do passo 3,
\lim_{x\to 0^{-}}(1+x)^{\frac{1}{x}} =\lim_{t\to -\infty}\left(1+\dfrac{1}{t}\right)^{t}.
Pela hipótese do enunciado \displaystyle \lim_{t\to -\infty}\left(1+\dfrac{1}{t}\right)^{t}=e. Logo
\lim_{x\to 0^{-}}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e.

Passo 6

Conclusão final: como os limites lateral direito e lateral esquerdo existem e são iguais a e, o limite bilateral existe e vale e. Ou seja, tanto
\lim_{x\to 0^{+}}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e\quad\text{quanto}\quad \lim_{x\to 0^{-}}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e,
portanto \displaystyle \lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e
\displaystyle \lim_{x\to 0^{-}}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e

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