Prove que
completando as partes (a) e (b).
a) Use a equação
e a subistituição
para provar que
.
b) Use a equação
e a subistituição
para provar que
a) Use a equação
b) Use a equação
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
tem limite
quando
, completando duas partes separadas:
-
(a) Provar que
usando a informação e a substituição . -
(b) Provar que
usando a informação e a mesma substituição .
Informações relevantes dadas:
- Tem-se por hipótese as duas limites-saídas
. - A substituição indicada é
, logo . - Deve-se observar o comportamento de
quando (ou ).
Passo 2
Explicar a relação entre as variáveis e o efeito da substituição. Se
, então:
Quando
(isto é,
positivo e tendendo a zero), temos
. Quando
(isto é,
negativo e tendendo a zero), temos
.
Também é importante garantir que a expressão está bem definida: para próximo de
tem-se
(por exemplo para
), logo
é bem definida como número real próximo de
.
Também é importante garantir que a expressão está bem definida: para
Passo 3
Aplicar a substituição na expressão. Substituindo
dentro de
obtém-se:
Portanto a função desejada vista em termos de
é exatamente a função
, cuja hipótese do enunciado já fornece o comportamento quando
.
Passo 4
Parte (a) — limite pela direita. Como
implica
, pela igualdade encontrada no passo anterior temos
Pela hipótese do enunciado
. Logo
(Em termos mais formais, isto é apenas a substituição de variável em um limite: se
e
quando
, então os limites compostos coincidem.)
Passo 5
Parte (b) — limite pela esquerda. Agora
implica
. Usando a mesma igualdade do passo 3,
Pela hipótese do enunciado
. Logo
Passo 6
Conclusão final: como os limites lateral direito e lateral esquerdo existem e são iguais a
, o limite bilateral existe e vale
. Ou seja, tanto
portanto
.