Calcule os seguintes limites.
\lim _{t \rightarrow 0}\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{t^{2}+t}\right)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede calcular o limite \displaystyle \lim_{t\to 0}\Bigl(\frac{1}{t}-\frac{1}{t^{2}+t}\Bigr).
O conteúdo principal aqui é simplificar expressões racionais, reunindo frações num denominador comum para depois aplicar o limite.

Passo 2

Primeiro, observe que
t^{2}+t = t\,(t+1).
Então vamos reunir as duas frações sobre o mesmo denominador:
\frac{1}{t} - \frac{1}{t^{2}+t} = \frac{1}{t} - \frac{1}{t\,(t+1)} = \frac{t+1}{t\,(t+1)} - \frac{1}{t\,(t+1)} = \frac{(t+1)-1}{t\,(t+1)} = \frac{t}{t\,(t+1)}.

Passo 3

Agora simplificamos \frac{t}{t\,(t+1)}:
\frac{t}{t\,(t+1)} = \frac{1}{t+1}.
Portanto, para t\neq0 e t\neq -1, nossa expressão vira \frac{1}{t+1}, e o limite original equivale a \displaystyle \lim_{t\to0}\frac{1}{t+1}.

Passo 4

Basta então substituir t=0 na expressão simplificada:
\lim_{t\to0}\frac{1}{t+1} = \frac{1}{0+1} = 1.

Resposta

1

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