Questāo 2. (2,5 pts) Calcule a integral
\iint_{A} y d x d y
onde A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x \geq 0, y \geq 0, x \leq y \leq 4 x, 1 \leq x y \leq 2\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{A} y \,dx\,dy
onde
A = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\ge0,\;y\ge0,\;x\le y\le4x,\;1\le xy\le2\}.
O conteúdo principal é usar mudança de variáveis numa integral dupla para simplificar as desigualdades que definem A.

Passo 2

Escolhemos a mudança de variáveis
u = x\,y,\quad v = \frac{y}{x}.
Daí x>0 e y=v\,x implicam
u = x\,(v\,x) = v\,x^2 \;\Longrightarrow\; x = \sqrt{\frac{u}{v}}, \quad y = v\,\sqrt{\frac{u}{v}} = \sqrt{u\,v}.
As desigualdades em (x,y) viram, em (u,v):
  1. 1\le xy\le2 1\le u\le2.
  2. x\le y\le4x 1\le\frac{y}{x}=v\le4.
    Logo a região em (u,v) é o retângulo
R = \{(u,v)\mid 1\le u\le2,\;1\le v\le4\}.

Passo 3

Calculamos o Jacobiano
J = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\[6pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix}.
Como
x = u^{1/2}v^{-1/2},\quad y = u^{1/2}v^{1/2},
obtém-se após derivar
|J| = \frac1{2\,v}.
Portanto
dx\,dy = \frac1{2\,v}\,du\,dv.]

Passo 4

Substituindo na integral:
\iint_{A} y\,dx\,dy = \int_{u=1}^{2}\!\int_{v=1}^{4} \bigl(\sqrt{u\,v}\bigr)\,\frac1{2\,v}\,dv\,du = \int_{1}^{2}\!\int_{1}^{4}\frac{\sqrt{u\,v}}{2\,v}\,dv\,du.
Simplificando o integrando:
\frac{\sqrt{u\,v}}{2\,v} = \frac{\sqrt{u}}{2\,\sqrt{v}}.
Então
\int_{v=1}^{4}\frac{\sqrt{u}}{2\,\sqrt{v}}\,dv = \frac{\sqrt{u}}{2}\int_{1}^{4}v^{-1/2}\,dv = \frac{\sqrt{u}}{2}\bigl[2\,v^{1/2}\bigr]_{1}^{4} = \sqrt{u}\,.

Passo 5

Agora resta
\int_{u=1}^{2}\sqrt{u}\,du = \left[\frac{2}{3}\,u^{3/2}\right]_{1}^{2} = \frac{2}{3}\bigl(2^{3/2}-1\bigr) = \frac{2}{3}\bigl(2\sqrt2 -1\bigr).

Resposta

\iint_{A} y\,dx\,dy = \frac{2}{3}\bigl(2\sqrt2 -1\bigr).

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