Questão 1. (2,5 pts) Determine os valores extremos da funçāo f(x, y)=e^{-x y} se x^{2}+4 y^{2} \leq 1.
Passo 1
O enunciado pede os extremos globais de
f(x,y)=e^{-xy}
no conjunto compacto definido por
x^{2}+4y^{2}\le1.
O conteúdo aqui é otimização em regiões fechadas: primeiro verificamos pontos críticos no interior e depois usamos multiplicadores de Lagrange para a fronteira.
Para \Lambda=\tfrac14 temos y=\tfrac12x e inserindo em x^{2}+4y^{2}=1 vem 2x^{2}=1, logo
x=\pm\frac1{\sqrt2}, \quad y=\pm\frac1{2\sqrt2}
(com mesmo sinal). Para \Lambda=-\tfrac14 vem y=-\tfrac12x e analogamente
x=\pm\frac1{\sqrt2}, \quad y=\mp\frac1{2\sqrt2}.
Também checamos os casos xy=0 na fronteira, que dão (\pm1,0) e (0,\pm\tfrac12), mas aí g=0.
Passo 5
Calculamos f=e^{-xy} nos candidatos da fronteira:
Em \bigl(\pm\tfrac1{\sqrt2},\pm\tfrac1{2\sqrt2}\bigr) temos xy=+\tfrac14 e
f=e^{-1/4}.
Em \bigl(\pm\tfrac1{\sqrt2},\mp\tfrac1{2\sqrt2}\bigr) temos xy=-\tfrac14 e
f=e^{1/4}.
Em (\pm1,0) e (0,\pm\tfrac12) temos xy=0 e f=1.
Passo 6
Comparando os valores
e^{-1/4}<1<e^{1/4},
concluímos que o mínimo global é e^{-1/4} e o máximo global é e^{1/4}.
Resposta
\displaystyle f_{\min}=e^{-1/4} atingido em \bigl(\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{2\sqrt2}\bigr) e \bigl(-\tfrac1{\sqrt2},-\tfrac1{2\sqrt2}\bigr). \displaystyle f_{\max}=e^{1/4} atingido em \bigl(\tfrac1{\sqrt2},-\tfrac1{2\sqrt2}\bigr) e \bigl(-\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{2\sqrt2}\bigr).