Questão 1. (2,5 pts) Determine os valores extremos da funçāo f(x, y)=e^{-x y} se x^{2}+4 y^{2} \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede os extremos globais de
f(x,y)=e^{-xy}
no conjunto compacto definido por
x^{2}+4y^{2}\le1.
O conteúdo aqui é otimização em regiões fechadas: primeiro verificamos pontos críticos no interior e depois usamos multiplicadores de Lagrange para a fronteira.

Passo 2

Procuramos os críticos internos resolvendo
\frac{\partial f}{\partial x}=-y\,e^{-xy}=0, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=-x\,e^{-xy}=0.
Como e^{-xy}\neq0, concluímos y=0 e x=0. O ponto (0,0) está no interior e
f(0,0)=e^{0}=1.

Passo 3

Na fronteira temos x^{2}+4y^{2}=1. Como e^{-t} é monótona decrescente em t, os extremos de f ocorrem onde xy atinge extremos. Definimos
g(x,y)=xy, \quad h(x,y)=x^{2}+4y^{2}-1=0,
e aplicamos Lagrange.

Passo 4

O sistema de multiplicadores é
\begin{cases} \frac{\partial g}{\partial x}=y=\Lambda\frac{\partial h}{\partial x}=2\Lambda x,\\\ \frac{\partial g}{\partial y}=x=\Lambda\frac{\partial h}{\partial y}=8\Lambda y,\\\ x^{2}+4y^{2}=1. \end{cases}
Das duas primeiras equações vem y=2\Lambda x e x=8\Lambda y. Se xy\neq0, multiplicando obtemos
1=16\Lambda^{2}\quad\Rightarrow\quad\Lambda=\pm\frac14.
Para \Lambda=\tfrac14 temos y=\tfrac12x e inserindo em x^{2}+4y^{2}=1 vem 2x^{2}=1, logo
x=\pm\frac1{\sqrt2}, \quad y=\pm\frac1{2\sqrt2}
(com mesmo sinal). Para \Lambda=-\tfrac14 vem y=-\tfrac12x e analogamente
x=\pm\frac1{\sqrt2}, \quad y=\mp\frac1{2\sqrt2}.
Também checamos os casos xy=0 na fronteira, que dão (\pm1,0) e (0,\pm\tfrac12), mas aí g=0.

Passo 5

Calculamos f=e^{-xy} nos candidatos da fronteira:
  • Em \bigl(\pm\tfrac1{\sqrt2},\pm\tfrac1{2\sqrt2}\bigr) temos xy=+\tfrac14 e
f=e^{-1/4}.
  • Em \bigl(\pm\tfrac1{\sqrt2},\mp\tfrac1{2\sqrt2}\bigr) temos xy=-\tfrac14 e
f=e^{1/4}.
  • Em (\pm1,0) e (0,\pm\tfrac12) temos xy=0 e f=1.

Passo 6

Comparando os valores
e^{-1/4}<1<e^{1/4},
concluímos que o mínimo global é e^{-1/4} e o máximo global é e^{1/4}.

Resposta

\displaystyle f_{\min}=e^{-1/4} atingido em \bigl(\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{2\sqrt2}\bigr) e \bigl(-\tfrac1{\sqrt2},-\tfrac1{2\sqrt2}\bigr). \displaystyle f_{\max}=e^{1/4} atingido em \bigl(\tfrac1{\sqrt2},-\tfrac1{2\sqrt2}\bigr) e \bigl(-\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{2\sqrt2}\bigr).

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