(9) Calcule os seguintes limites: \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\operatorname{tg}\left(x^{2}\right)}
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0^{+}} x^{\tan\left(x^{2}\right)}.
Informações relevantes dadas:
A variável x tende para 0 pela direita (ou seja x>0 perto de 0).
A expressão é uma potência com base x (que tende a 0^{+}) e expoente \tan(x^{2}) (que tende a 0 também, pois \tan(0)=0).
Temos, portanto, uma forma indefinida do tipo 0^{0} quando x\to0^{+}.
Passo 2
Estratégia para resolver: para limites de potências na forma 0^{0} é muito útil aplicar logaritmo natural para transformar a potência em produto, porque produtos são mais fáceis de analisar. Então definimos a função
y = x^{\tan\left(x^{2}\right)},\quad x>0,
e tomamos logaritmo natural em ambos os lados:
\ln y = \tan\left(x^{2}\right)\,\ln x.
Agora o objetivo passa a ser calcular \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} \ln y. Se esse limite existir e for L, então o limite original será e^{L}, pela continuidade da função exponencial.
Passo 3
Simplificamos \tan(x^{2}) usando um fator que tende a 1. Como \tan u é contínua em u=0 e \tan u\sim u para u\to0, temos
\ln y = x^{2}\cdot\frac{\tan\left(x^{2}\right)}{x^{2}}\cdot\ln x.
Como \dfrac{\tan\left(x^{2}\right)}{x^{2}}\to1, o comportamento de \ln y é o mesmo de x^{2}\ln x quando x\to0^{+}. Em outras palavras,
\lim_{x\to 0^{+}} \ln y = \lim_{x\to 0^{+}} x^{2}\ln x,
desde que este último limite exista (ou seja o produto do fator que tende a 1 pela função x^{2}\ln x).
Passo 4
Agora calculamos \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} x^{2}\ln x. Uma forma conveniente é fazer a substituição t=\dfrac{1}{x}. Quando x\to0^{+} temos t\to+\infty. Reescrevendo,
x^{2}\ln x = \frac{\ln x}{1/x^{2}} = \frac{-\ln t}{t^{2}}.
Logo
\lim_{x\to 0^{+}} x^{2}\ln x = \lim_{t\to+\infty} \frac{-\ln t}{t^{2}}.
Para calcular \displaystyle\lim_{t\to+\infty} \frac{\ln t}{t^{2}} podemos usar L’Hôpital (forma \infty/\infty): derivando numerador e denominador em t obtemos