(9) Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\operatorname{tg}\left(x^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0^{+}} x^{\tan\left(x^{2}\right)}.
Informações relevantes dadas:
  • A variável x tende para 0 pela direita (ou seja x>0 perto de 0).
  • A expressão é uma potência com base x (que tende a 0^{+}) e expoente \tan(x^{2}) (que tende a 0 também, pois \tan(0)=0).
  • Temos, portanto, uma forma indefinida do tipo 0^{0} quando x\to0^{+}.

Passo 2

Estratégia para resolver: para limites de potências na forma 0^{0} é muito útil aplicar logaritmo natural para transformar a potência em produto, porque produtos são mais fáceis de analisar. Então definimos a função
y = x^{\tan\left(x^{2}\right)},\quad x>0,
e tomamos logaritmo natural em ambos os lados:
\ln y = \tan\left(x^{2}\right)\,\ln x.
Agora o objetivo passa a ser calcular \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} \ln y. Se esse limite existir e for L, então o limite original será e^{L}, pela continuidade da função exponencial.

Passo 3

Simplificamos \tan(x^{2}) usando um fator que tende a 1. Como \tan u é contínua em u=0 e \tan u\sim u para u\to0, temos
\frac{\tan\left(x^{2}\right)}{x^{2}}\xrightarrow[x\to0]{}1.
Então podemos escrever
\ln y = x^{2}\cdot\frac{\tan\left(x^{2}\right)}{x^{2}}\cdot\ln x.
Como \dfrac{\tan\left(x^{2}\right)}{x^{2}}\to1, o comportamento de \ln y é o mesmo de x^{2}\ln x quando x\to0^{+}. Em outras palavras,
\lim_{x\to 0^{+}} \ln y = \lim_{x\to 0^{+}} x^{2}\ln x,
desde que este último limite exista (ou seja o produto do fator que tende a 1 pela função x^{2}\ln x).

Passo 4

Agora calculamos \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} x^{2}\ln x. Uma forma conveniente é fazer a substituição t=\dfrac{1}{x}. Quando x\to0^{+} temos t\to+\infty. Reescrevendo,
x^{2}\ln x = \frac{\ln x}{1/x^{2}} = \frac{-\ln t}{t^{2}}.
Logo
\lim_{x\to 0^{+}} x^{2}\ln x = \lim_{t\to+\infty} \frac{-\ln t}{t^{2}}.
Para calcular \displaystyle\lim_{t\to+\infty} \frac{\ln t}{t^{2}} podemos usar L’Hôpital (forma \infty/\infty): derivando numerador e denominador em t obtemos
\lim_{t\to+\infty} \frac{\ln t}{t^{2}} = \lim_{t\to+\infty} \frac{1/t}{2t} = \lim_{t\to+\infty} \frac{1}{2t^{2}} = 0.
Portanto \displaystyle\lim_{t\to+\infty} \frac{-\ln t}{t^{2}} = 0, e assim
\lim_{x\to 0^{+}} x^{2}\ln x = 0.

Passo 5

Voltando para \ln y: como \dfrac{\tan(x^{2})}{x^{2}}\to1 e \displaystyle\lim_{x\to0^{+}} x^{2}\ln x=0, temos
\lim_{x\to 0^{+}} \ln y = 0.
Pela continuidade da função exponencial, isto implica
\lim_{x\to 0^{+}} y = \lim_{x\to 0^{+}} e^{\ln y} = e^{0} = 1.

Resposta

1

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