(4) Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A base da potência é
(função dependente de ). - O expoente é
(também dependente de ). - Queremos
, a derivada de em função de .
Passo 2
Por que usar diferenciação logarítmica? Quando tanto a base quanto o expoente dependem de
, a forma padrão de derivar uma potência não funciona diretamente. A técnica é:
- Tomar logaritmo natural em ambos os lados: isso transforma a potência em produto, o que facilita a derivação.
- Depois derivar usando a regra da cadeia e da soma.
A derivação geral funciona assim. Se
com
, então aplicando
obtemos
Agora derivamos cada lado em relação a
. Lembrando que a derivada de
em relação a
é
(regra da cadeia), obtemos
Portanto
Essa fórmula é o que vamos aplicar com
e
.
Passo 3
Identificamos explicitamente as funções:
Calculamos as derivadas necessárias, explicando cada passo.
Derivada de
:
Derivada de
:
A constante
some na derivada e usamos a regra da cadeia para
:
Portanto
(Nota: poderíamos reconhecer
, mas manterei a forma factorada para facilitar a simplificação depois.)
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula geral obtida no Passo 2:
Substituindo
,
,
,
e
, obtemos
Passo 5
Vamos arrumar e simplificar o fator entre parênteses. O segundo termo é
Então a soma dentro do parênteses fica
Podemos fatorar
para deixar mais compacto:
Portanto a derivada final é
Passo 6
Comentário final e verificação rápida: a expressão está correta e tem a estrutura esperada: o fator externo é a própria função
, e o interior combina a derivada do expoente multiplicada pelo logaritmo da base (
) com o expoente vezes a derivada relativa da base (
). Tudo isso veio diretamente da diferenciação logarítmica + regra da cadeia.