(4) Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas:
\left(\left(1+\cos ^{2} x\right)^{\operatorname{sen} x}\right)^{\prime}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
y(x)=\left(1+\cos^{2}x\right)^{\sin x}.
Informações dadas:
  • A base da potência é u(x)=1+\cos^{2}x (função dependente de x).
  • O expoente é v(x)=\sin x (também dependente de x).
  • Queremos y'(x), a derivada de y em função de x.

Passo 2

Por que usar diferenciação logarítmica? Quando tanto a base quanto o expoente dependem de x, a forma padrão de derivar uma potência não funciona diretamente. A técnica é:
  • Tomar logaritmo natural em ambos os lados: isso transforma a potência em produto, o que facilita a derivação.
  • Depois derivar usando a regra da cadeia e da soma.
A derivação geral funciona assim. Se
y=u(x)^{v(x)}
com u(x)>0, então aplicando \ln obtemos
\ln y = v(x)\,\ln u(x).
Agora derivamos cada lado em relação a x. Lembrando que a derivada de \ln y em relação a x é \dfrac{y'}{y} (regra da cadeia), obtemos
\frac{y'}{y}=v'(x)\,\ln u(x)+v(x)\,\frac{u'(x)}{u(x)}.
Portanto
y'=y\left(v'(x)\,\ln u(x)+v(x)\,\frac{u'(x)}{u(x)}\right).
Essa fórmula é o que vamos aplicar com u(x)=1+\cos^{2}x e v(x)=\sin x.

Passo 3

Identificamos explicitamente as funções:
u(x)=1+\cos^{2}x,\qquad v(x)=\sin x.
Calculamos as derivadas necessárias, explicando cada passo.
Derivada de v(x):
v'(x)=\frac{d}{dx}\sin x=\cos x.
Derivada de u(x):
u(x)=1+\cos^{2}x.
A constante 1 some na derivada e usamos a regra da cadeia para \cos^{2}x=(\cos x)^{2}:
\frac{d}{dx}\cos^{2}x = 2\cos x\cdot\frac{d}{dx}(\cos x)=2\cos x\cdot(-\sin x)=-2\cos x\sin x.
Portanto
u'(x)=-2\cos x\sin x.
(Nota: poderíamos reconhecer -2\cos x\sin x=-\sin 2x, mas manterei a forma factorada para facilitar a simplificação depois.)

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula geral obtida no Passo 2:
y' = y\left(v'(x)\,\ln u(x)+v(x)\,\frac{u'(x)}{u(x)}\right).
Substituindo y=(1+\cos^{2}x)^{\sin x}, v'(x)=\cos x, v(x)=\sin x, u'(x)=-2\cos x\sin x e u(x)=1+\cos^{2}x, obtemos
y'=(1+\cos^{2}x)^{\sin x}\left(\cos x\cdot\ln(1+\cos^{2}x)+\sin x\cdot\frac{-2\cos x\sin x}{1+\cos^{2}x}\right).

Passo 5

Vamos arrumar e simplificar o fator entre parênteses. O segundo termo é
\sin x\cdot\frac{-2\cos x\sin x}{1+\cos^{2}x}=\frac{-2\cos x\sin^{2}x}{1+\cos^{2}x}.
Então a soma dentro do parênteses fica
\cos x\ln(1+\cos^{2}x)-\frac{2\cos x\sin^{2}x}{1+\cos^{2}x}.
Podemos fatorar \cos x para deixar mais compacto:
\cos x\left(\ln(1+\cos^{2}x)-\frac{2\sin^{2}x}{1+\cos^{2}x}\right).
Portanto a derivada final é
y'=(1+\cos^{2}x)^{\sin x}\cdot\cos x\left(\ln(1+\cos^{2}x)-\frac{2\sin^{2}x}{1+\cos^{2}x}\right).

Passo 6

Comentário final e verificação rápida: a expressão está correta e tem a estrutura esperada: o fator externo é a própria função y, e o interior combina a derivada do expoente multiplicada pelo logaritmo da base ( \cos x\cdot\ln(1+\cos^{2}x)) com o expoente vezes a derivada relativa da base ( \sin x\cdot u'/u). Tudo isso veio diretamente da diferenciação logarítmica + regra da cadeia.

Resposta

y'=(1+\cos^{2}x)^{\sin x}\,\cos x\!\left(\ln(1+\cos^{2}x)-\frac{2\sin^{2}x}{1+\cos^{2}x}\right)

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