Considere a função y=f(x) dada implicitamente pela equação
x^2 y-x y^3+3 x=y+2
A equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (1,1) é dada por:
a) y=3 x-2
b) y=4 x+15
c) y=4 x-13
d) y=3 x+14
e) y=5 x-14

Passo 1

O enunciado dá uma função implícita
x^2y - x y^3 + 3x = y + 2
e pede a reta tangente ao gráfico de y=f(x) no ponto (1,1). O conteúdo é derivação implícita e montagem da equação da reta.

Passo 2

Vamos derivar ambos os lados em relação a x. Para isso usamos regra do produto e lembramos que y é função de x, logo aparece y':
ddx(x^2y) = 2xy + x^2y',
ddx(-xy^3) = -l(y^3 + 3xy^2y'r),
ddx(3x) = 3,
ddx(y+2) = y'
Substituindo e reorganizando, obtemos
(x^2 - 3xy^2 - 1)y' + 2xy - y^3 + 3 = 0
e daí
y' = -2xy + y^3 - 3x^2 - 3xy^2 - 1

Passo 3

Agora avaliamos em (x,y)=(1,1):
numerador = -2cdot1cdot1 + 1^3 - 3 = -2 + 1 - 3 = -4,
denominador = 1^2 - 3cdot1cdot1^2 - 1 = 1 - 3 - 1 = -3,
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y'l|(1,1) = -4-3 = 43

Passo 4

Com a inclinação m=4/3 e sabendo que a reta passa por (1,1), usamos a forma ponto-inclinação:
y - 1 = 43(x - 1)
Expandindo:
y = 43x - 43 + 1 = 43x - 13,
que equivale a
y = 4x - 13

Resposta

y = 4x - 13

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