Calcule os seguintes limites:
lim x 0 a^x-1b^x-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto0 a^x - 1b^x - 1. Esse problema envolve limites de funções exponenciais e pode ser resolvido usando a regra de l’Hôpital ou a expansão de séries de Taylor para e^x. Vamos optar por l’Hôpital, já que identificamos uma indeterminação do tipo 0/0.

Passo 2

Note que limxto0(a^x-1)=0 e limxto0(b^x-1)=0, ou seja, temos forma indeterminada 0/0. Pela regra de l’Hôpital, derivamos numerador e denominador:

Passo 3

Derivando temos
ddxl(a^x - 1r) = a^x ln a,
ddxl(b^x - 1r) = b^x ln b
Aplicando a regra, o limite vira limxto0 a^x ln ab^x ln b. Avaliando em x=0, obtemos a^0 = b^0 = 1, logo o resultado é ln aln b.

Resposta

ln aln b

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