Calcule os seguintes limites:
lim x 0 x cos (x)-log (1+x)x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite \lim_{x\to0}\frac{x\cos(x)-\ln(1+x)}{x}. O conteúdo aqui é limite de indeterminação 0/0 e vamos usar séries de Taylor (desenvolvimentos em torno de zero) para aproximar cada termo.

Passo 2

Para usar Taylor, lembramos que \cos(x)=1-\frac{x2}{2}+O(x4) e \ln(1+x)=x-\frac{x2}{2}+\frac{x3}{3}+O(x^4). Então, calculamos cada parte:
xcos(x)=xl(1-x^22+O(x^4)r)=x-x^32+O(x^5),
ln(1+x)=x-x^22+x^33+O(x^4)

Passo 3

Subtraindo essas duas expressões temos:
xcos(x)-ln(1+x)=l(x-tfracx^32r)-l(x-tfracx^22+tfracx^33r)+O(x^4)=x^22-5x^36+O(x^4)

Passo 4

Agora dividimos por x:
xcos(x)-ln(1+x)x=x^2/2-5x^3/6+O(x^4)x=x2-5x^26+O(x^3)
À medida que x→0 isso tende a 0.

Resposta

0

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