Calcule os seguintes limites:
lim x -infty e^x cos (x)x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto -infty e^xcos(x)x. O assunto envolve limites de funções com exponencial e trigonometria, e vamos usar o teorema do confronto (ou sanduíche) para resolver.

Passo 2

Como |cos(x)|<= 1, vale a desigualdade
|e^xcos(x)x| <= e^x|x|
Isso mostra que basta estudar o comportamento de e^x|x| quando xto -infty.

Passo 3

Para xto -infty, a função e^x decai exponencialmente até 0, enquanto |x| cresce sem limite. Exponenciais decaem muito mais rápido que qualquer crescimento polinomial, logo
limxto -inftye^x|x|=0

Passo 4

Pelo teorema do confronto, como
-e^x|x|<= e^xcos(x)x<= e^x|x|
e os limites das duas funções-limite laterais são 0, concluímos que
limxto -infty e^xcos(x)x=0

Resposta

0

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