Resolva as seguintes inequações:
(i) x|x-2|>2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação (\frac{x}{|x-2|}>2. O conteúdo envolve inequações racionais com valor absoluto. Para resolver, vamos usar a definição de valor absoluto por casos e técnicas de inequações com frações.

Passo 2

Vamos separar em dois casos: (i) x-2>=0 (ou seja, x>=2), onde |x-2|=x-2; (ii) x-2<0 (ou seja, x<2), onde |x-2|=2-x. Em cada caso, resolvemos respeitando o sinal do denominador.

Passo 3

Caso 1: x>=2. A inequação vira para xx-2>2 Como (x-2>0 (e x>2 é excluído por anular o denominador), multiplicamos por x=2 sem inverter o sinal, obtendo x-2. Isso leva a x>2(x-2), ou seja x>2x-4. Combinando com x<4, fica x>2.

Passo 4

Caso 2: x<2. A inequação vira , então multiplicamos sem inverter, resultando em x2-x>2 Aqui (2-x>0. Daí x>2(2-x)=4-2x e 3x>4. Combinando com x>43, obtém-se x<2.

Passo 5

Unindo as duas partes e lembrando que x=2 não pertence ao domínio, a solução é xin(43,2)cup(2,4).

Resposta

xin(43,2)cup(2,4)

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