Calcule os seguintes limites:
lim x 0 x-1x^2(x+3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite de x-1x^2(x+3) quando x se aproxima de 0. Estamos lidando com limites, uma parte fundamental do Cálculo, e vamos precisar entender como as funções se comportam perto de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x por 0 na expressão para ver o que acontece:
0 - 10^2(0 + 3) = -10 times 3 = -10
Aqui, vemos que o denominador está indo para 0, e o numerador está indo para -1. Isso significa que estamos lidando com uma situação onde o numerador é uma constante diferente de zero e o denominador está se aproximando de zero.

Passo 3

Quando temos uma fração onde o denominador se aproxima de 0 e o numerador é uma constante negativa (neste caso, -1), o valor da fração vai para menos infinito se o denominador se aproxima de 0 por valores positivos, ou para mais infinito se se aproxima por valores negativos.
Vamos analisar o comportamento de x^2(x+3) quando x se aproxima de 0:
  • x^2 sempre é positivo ou zero, pois é um quadrado.
  • (x + 3), para x próximo de 0, é aproximadamente 3, que é positivo.
Portanto, o denominador está se aproximando de 0 por valores positivos.

Passo 4

Como o denominador está se aproximando de 0 por valores positivos e o numerador é -1, a fração inteira está tendendo para -infty. Isso significa que, à medida que x se aproxima de 0, x-1x^2(x+3) fica cada vez mais negativa, sem limite inferior.

Resposta

lim x 0 x-1x^2(x+3) = -infty

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