Classifique a afirmação em verdadeira ou falsa:
Se f é contínua então integral0^1 integral0^y f(x, y) d x d y=integral0^1 integralx^1 f(x, y) d y d x.

Passo 1

O enunciado dá uma função contínua f(x,y) numa região triangular do plano e pede para comparar
integral0^1!l(integral0^yf(x,y),dxr)dy com integral0^1!l(integralx^1f(x,y),dyr)dx
O conteúdo é o Teorema de Fubini (troca da ordem de integração) em uma região do tipo
D = (x,y)mid 0<= x<= y<= 1

Passo 2

Descrevemos a região D de duas maneiras:
  1. Para cada y em [0,1], x varia de 0 até y.
  2. Para cada x em [0,1], y varia de x até 1.
Essas são as duas ordens de integração que aparecem nos integrais do enunciado.

Passo 3

Pelo Teorema de Fubini, como f é contínua (logo integrável) em D, temos
integral duplaD f(x,y),dA =integraly=0^1!l(integralx=0^yf(x,y),dxr)dy =integralx=0^1!l(integraly=x^1f(x,y),dyr)dx

Passo 4

Reconhecendo que os integrandos e os limites batem exatamente com os do enunciado, concluímos que
integral0^1!l(integral0^yf(x,y),dxr)dy =integral0^1!l(integralx^1f(x,y),dyr)dx

Resposta

Verdadeira.

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