Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite quando
da função
. O conteúdo envolvido é limites no infinito e manipulação de potências, e vamos precisar usar propriedades de expoentes e regras de limites para funções racionalizadas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o denominador em termos de potências de
. Como
, temos
[ \sqrt{x},(x2+1)=x{1/2},(x2+1)=x{1/2},x2\left(1+\frac{1}{x2}\right)=x{5/2}\left(1+\frac{1}{x2}\right) ]
Logo, podemos escrever
[ \frac{1}{\sqrt{x},(x2+1)}=\frac{1}{x{5/2}\left(1+\frac{1}{x2}\right)}=x{-5/2}\cdot\frac{1}{1+\frac{1}{x^2}} ]
[ \sqrt{x},(x2+1)=x{1/2},(x2+1)=x{1/2},x2\left(1+\frac{1}{x2}\right)=x{5/2}\left(1+\frac{1}{x2}\right) ]
Logo, podemos escrever
[ \frac{1}{\sqrt{x},(x2+1)}=\frac{1}{x{5/2}\left(1+\frac{1}{x2}\right)}=x{-5/2}\cdot\frac{1}{1+\frac{1}{x^2}} ]
Passo 3
Agora, aplicamos propriedades de limites: sabemos que
porque a potência no denominador cresce sem limite, e
. Pelo teorema do produto de limites, o limite de
é o produto desses limites.
Resposta
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