Calcule os seguintes limites:
lim x +infty 1raizx(x^2+1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite quando xto+infty da função f(x)=1raizx,(x^2+1). O conteúdo envolvido é limites no infinito e manipulação de potências, e vamos precisar usar propriedades de expoentes e regras de limites para funções racionalizadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o denominador em termos de potências de x. Como raizx=x^1/2, temos
[ \sqrt{x},(x2+1)=x{1/2},(x2+1)=x{1/2},x2\left(1+\frac{1}{x2}\right)=x{5/2}\left(1+\frac{1}{x2}\right) ]
Logo, podemos escrever
[ \frac{1}{\sqrt{x},(x2+1)}=\frac{1}{x{5/2}\left(1+\frac{1}{x2}\right)}=x{-5/2}\cdot\frac{1}{1+\frac{1}{x^2}} ]

Passo 3

Agora, aplicamos propriedades de limites: sabemos que limxto+inftyx^-5/2=0 porque a potência no denominador cresce sem limite, e limxto+infty11+1/x^2=1. Pelo teorema do produto de limites, o limite de f(x) é o produto desses limites.

Resposta

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